Задание на расчётно- графическую работу № 10. Двухступенчатый стальной брус нагружен силами F₁, F₂, F₃. Площади поперечных сечений ступеней А₁ и А₂. Построить этюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса, приняв E = 2 · 10⁵ Н/мм, и построить эпюру перемещений поперечных сечений бруса. F₁ = 20 кН, F₂ = 8 кН, F₃ = 4 кН, A₁ = 1 см², A₂ = 1,5 см², a = 0,4 м. Выполнить чертёж к задаче. Построить этюру перемещений сечений бруса.

Решение:

1. Построение эпюры продольных сил (N).

Разделим брус на две ступени по площадям сечений: 1-я ступень (площадь \( A_1 = 1 \text{ см}^2 \)) и 2-я ступень (площадь \( A_2 = 1.5 \text{ см}^2 \)).

Силы, действующие на брус:

• \( F_1 = 20 \text{ кН} \) (растягивающая)
• \( F_2 = 8 \text{ кН} \) (сжимающая)
• \( F_3 = 4 \text{ кН} \) (сжимающая)

Расчет продольных сил в ступенях:

• В 1-й ступени (справа налево): \( N_1 = F_1 = +20 \text{ кН} \) (растяжение).
• Во 2-й ступени: \( N_2 = F_1 - F_2 = 20 - 8 = +12 \text{ кН} \) (растяжение).
• В 3-й ступени (или крайнем левом участке): \( N_3 = F_1 - F_2 - F_3 = 20 - 8 - 4 = +8 \text{ кН} \) (растяжение).

Эпюра продольных сил (N):

Эпюра будет состоять из трех прямоугольников. Максимальное значение \( N_{max} = 20 \text{ кН} \) на 1-й ступени.

2. Построение эпюры нормальных напряжений (\(\sigma\)).

Нормальные напряжения рассчитываются по формуле: \( \sigma = \frac{N}{A} \). Модуль упругости \( E = 2 x 10^5 \text{ Н/мм}^2 = 2 x 10^5 x 10^6 \text{ Н/м}^2 = 2 x 10^{11} \text{ Па} \). Переведем силы в Ньютоны: \( F_1 = 20 x 10^3 \text{ Н} \), \( F_2 = 8 x 10^3 \text{ Н} \), \( F_3 = 4 x 10^3 \text{ Н} \). Переведем площади в м²: \( A_1 = 1 \text{ см}^2 = 1 x 10^{-4} \text{ м}^2 \), \( A_2 = 1.5 \text{ см}^2 = 1.5 x 10^{-4} \text{ м}^2 \).

• \( \sigma_1 = \frac{N_1}{A_1} = \frac{20 x 10^3 \text{ Н}}{1 x 10^{-4} \text{ м}^2} = 200 x 10^6 \text{ Па} = 200 \text{ МПа} \) (растяжение).
• \( \sigma_2 = \frac{N_2}{A_2} = \frac{12 x 10^3 \text{ Н}}{1.5 x 10^{-4} \text{ м}^2} = 80 x 10^6 \text{ Па} = 80 \text{ МПа} \) (растяжение).
• \( \sigma_3 = \frac{N_3}{A_2} = \frac{8 x 10^3 \text{ Н}}{1.5 x 10^{-4} \text{ м}^2} \approx 53.3 \text{ МПа} \) (растяжение).

Эпюра нормальных напряжений (\(\sigma\)):

Эпюра будет состоять из трех прямоугольников с соответствующими значениями напряжений.

3. Определение перемещения свободного конца бруса (\(\delta\)).

Длина 1-й ступени \( l_1 = a = 0.4 \text{ м} \). Длина 2-й ступени \( l_2 = a = 0.4 \text{ м} \). Общая длина \( L = 2a = 0.8 \text{ м} \).

Перемещение рассчитывается по формуле: \( \delta = \sum \frac{N_i l_i}{A_i E} \).

• \( \delta = \frac{N_1 l_1}{A_1 E} + \frac{N_2 l_2}{A_2 E} + \frac{N_3 l_3}{A_2 E} \)
• \( \delta = \frac{(20 x 10^3 \text{ Н}) x (0.4 \text{ м})}{(1 x 10^{-4} \text{ м}^2) x (2 x 10^{11} \text{ Па})} + \frac{(12 x 10^3 \text{ Н}) x (0.4 \text{ м})}{(1.5 x 10^{-4} \text{ м}^2) x (2 x 10^{11} \text{ Па})} + \frac{(8 x 10^3 \text{ Н}) x (0.4 \text{ м})}{(1.5 x 10^{-4} \text{ м}^2) x (2 x 10^{11} \text{ Па})} \)
• \( \delta = \frac{8000}{2 x 10^7} + \frac{4800}{3 x 10^7} + \frac{3200}{3 x 10^7} \)
• \( \delta \approx 4 x 10^{-5} \text{ м} + 1.6 x 10^{-4} \text{ м} + 1.07 x 10^{-4} \text{ м} \)
• \( \delta \approx 0.00004 + 0.00016 + 0.000107 = 0.000307 \text{ м} = 0.307 \text{ мм} \)

4. Построение эпюры перемещений поперечных сечений бруса (\(\delta\)).

Эпюра перемещений будет иметь вид ступенчатой линии, отражающей накопление деформаций по длине бруса.

Чертеж к задаче:

Требуется построить схему бруса с указанием сил, площадей, размеров, а также эпюры продольных сил и нормальных напряжений, эпюру перемещений.

(Примечание: Для полного выполнения задания необходим графический редактор для построения чертежей и эпюр, что выходит за рамки текстового формата. Ниже представлено схематичное описание построения.)

Описание построения эпюр:

• Эпюра N: Прямоугольник высотой 20 кН на первой ступени, затем идет понижение до 12 кН на второй ступени, и далее до 8 кН на третьем участке.
• Эпюра \(\sigma\): Аналогична эпюре N, но с учетом площадей сечений. Значения будут: 200 МПа, 80 МПа, ~53.3 МПа.
• Эпюра \(\delta\): Прямоугольник перемещения на первой ступени, затем увеличение на второй ступени, отражающее суммарное перемещение.

Ответ: Перемещение свободного конца бруса составляет приблизительно 0.307 мм. Построены эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.