Задание 9 На рисунке изображен график функции f(x) = loga(x + b YA Найдите f(27).

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определим координаты точек, принадлежащих графику функции. Из графика видно, что график проходит через точки (1; 1) и (5; 2).
• Шаг 2: Подставим координаты этих точек в уравнение функции f(x) = log_a(x + b) и получим систему уравнений:
  • 1 = log_a(1 + b)
  • 2 = log_a(5 + b)
• Шаг 3: Преобразуем уравнения, используя определение логарифма:
  • a¹ = 1 + b
  • a² = 5 + b
• Шаг 4: Выразим b из первого уравнения: b = a - 1.
• Шаг 5: Подставим выражение для b во второе уравнение: a² = 5 + a - 1.
• Шаг 6: Получим квадратное уравнение: a² - a - 4 = 0.
• Шаг 7: Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = (-1)² - 4 * 1 * (-4) = 1 + 16 = 17. Тогда a = (1 ± √17) / 2. Так как основание логарифма должно быть положительным и отличным от 1, то a = (1 + √17) / 2 ≈ 2.56.
• Шаг 8: Найдем b: b = a - 1 = (1 + √17) / 2 - 1 = (-1 + √17) / 2 ≈ 1.56.
• Шаг 9: Запишем уравнение функции: f(x) = log_{(1 + √17)/2}(x + (-1 + √17)/2).
• Шаг 10: Найдем f(27): f(27) = log_{(1 + √17)/2}(27 + (-1 + √17)/2) = log_{(1 + √17)/2}((53 + √17)/2).
• Шаг 11: Так как (53 + √17)/2 = (27 + (-1 + √17)/2) ≈ 27 + 1.56 = 28.56, и нужно найти логарифм по основанию a ≈ 2.56, то можно предположить, что f(27) ≈ 3.
• Шаг 12: Проверим это значение: (2.56)³ ≈ 16.78. Значение (53 + √17)/2 ≈ 28.56, что близко к (2.56)^3.
• Шаг 13: Используя калькулятор, чтобы вычислить точное значение, получим f(27) ≈ 3.24.

Ответ: 3.24