ЗАДАНИЕ №7 На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что АМ: МB = 3:4 и AN: NC = 3:2. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника АВС равна 70.

Решим задачу.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin(\alpha)$$, где a и b - стороны треугольника, \alpha - угол между ними.

Для треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin(A) = 70$$

Для треугольника AMN:

$$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AN \cdot sin(A)$$

Выразим AM и AN через AB и AC:

Так как AM : MB = 3 : 4, то AM составляет 3/7 от AB:

$$AM = \frac{3}{7} AB$$

Так как AN : NC = 3 : 2, то AN составляет 3/5 от AC:

$$AN = \frac{3}{5} AC$$

Подставим в формулу площади треугольника AMN:

$$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} AB \cdot \frac{3}{5} AC \cdot sin(A) = \frac{9}{35} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin(A))$$

Так как $$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot sin(A) = S_{ABC} = 70$$, то:

$$S_{AMN} = \frac{9}{35} \cdot 70 = 9 \cdot 2 = 18$$

Ответ: 18