ЗАДАНИЕ 11 Напишите ответ в строке (без учета регистра) Даны точки A(2; 5), В(6; 9), C(10; 9), D(14; 5). Найдите угол между векторами АВ и AD. Ответ запишите в градусах.

Для решения задачи необходимо найти координаты векторов $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AD} $$, а затем воспользоваться формулой для нахождения угла между двумя векторами.

1. Найдем координаты векторов $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AD} $$.

Координаты вектора $$ \overrightarrow{AB} $$ находятся как разность координат конца и начала вектора:

$$ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (6 - 2; 9 - 5) = (4; 4) $$

Аналогично найдем координаты вектора $$ \overrightarrow{AD} $$.

$$ \overrightarrow{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (14 - 2; 5 - 5) = (12; 0) $$

2. Найдем косинус угла между векторами $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AD} $$ по формуле:

$$ \cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}|} $$

где $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} $$ - скалярное произведение векторов $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AD} $$, а $$ |\overrightarrow{AB}| $$ и $$ |\overrightarrow{AD}| $$ - их длины.

3. Вычислим скалярное произведение векторов $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AD} $$.

$$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (4 \cdot 12) + (4 \cdot 0) = 48 + 0 = 48 $$

4. Найдем длины векторов $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AD} $$.

$$ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $$ $$ |\overrightarrow{AD}| = \sqrt{12^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12 $$

5. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла.

$$ \cos(\alpha) = \frac{48}{4\sqrt{2} \cdot 12} = \frac{48}{48\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

6. Найдем угол $$ \alpha $$, косинус которого равен $$ \frac{\sqrt{2}}{2} $$.

$$ \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^{\circ} $$

Ответ: 45