ЗАДАНИЕ №1 Найдите корни уравнения: a) $$\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{7x}{x^2 + 1}$$; б) $$\frac{y^2}{y^2 - 6y} = \frac{4(3 - 2y)}{y (6 - y)}$$; в) $$\frac{x^2-2}{x+2} = \frac{x +3}{x-4}$$;

Решим каждое уравнение по отдельности. a) $$\frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{7x}{x^2 + 1}$$; Умножим обе части уравнения на $$(x^2 + 1)$$, при условии, что $$x^2+1
eq 0$$. Так как $$x^2+1$$ всегда больше 0, это условие выполняется для любого $$x$$. $$x^2 = 7x$$ $$x^2 - 7x = 0$$ $$x(x - 7) = 0$$ Тогда $$x = 0$$ или $$x - 7 = 0$$, следовательно, $$x = 7$$. Ответ: $$x = 0$$ и $$x = 7$$. б) $$\frac{y^2}{y^2 - 6y} = \frac{4(3 - 2y)}{y (6 - y)}$$; $$\frac{y^2}{y(y - 6)} = \frac{4(3 - 2y)}{y (6 - y)}$$ При условии, что $$y
eq 0$$ и $$y
eq 6$$, умножим обе части на $$y(y - 6)$$: $$\frac{y^2}{y(y - 6)} = \frac{-4(2y - 3)}{y (y - 6)}$$ $$y^2 = -4(2y - 3)$$ $$y^2 = -8y + 12$$ $$y^2 + 8y - 12 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 64 + 48 = 112$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{112}}{2} = \frac{-8 + 4\sqrt{7}}{2} = -4 + 2\sqrt{7}$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{112}}{2} = \frac{-8 - 4\sqrt{7}}{2} = -4 - 2\sqrt{7}$$ Оба корня не равны 0 и 6, следовательно, являются решением. Ответ: $$y = -4 + 2\sqrt{7}$$ и $$y = -4 - 2\sqrt{7}$$. в) $$\frac{x^2-2}{x+2} = \frac{x +3}{x-4}$$; При условии, что $$x
eq -2$$ и $$x
eq 4$$, умножим обе части на $$(x+2)(x-4)$$: $$(x^2 - 2)(x - 4) = (x + 3)(x + 2)$$ $$x^3 - 4x^2 - 2x + 8 = x^2 + 5x + 6$$ $$x^3 - 5x^2 - 7x + 2 = 0$$ Решить кубическое уравнение аналитически сложно, корни можно найти численными методами или используя специальные сервисы. Приблизительные корни: $$x_1 \approx 6.065$$ $$x_2 \approx -0.275$$ $$x_3 \approx -0.790$$ Ни один из корней не равен -2 и 4, следовательно, они являются решением. Ответ: $$x \approx 6.065$$, $$x \approx -0.275$$, $$x \approx -0.790$$.