1. Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f: 1. y=x⁴+4x, [-2;1]. 2. y = 2x²-4x³, [-1;2]. 2x³ 5x2 3. y=-+3x, [0;2]. 32 x3x² 5. y =--+2x, [-1;3]. 3 2 4. y = x⁴/2 - x², [-2;1]. 6. y = 3x - x³, [-2;2]. 7. y = x⁴ - 2x² + 1, [-2;2]. 8. y=x³/3 - x²/2 - 2x, [-2;3].

Ответ: смотри решение

1. 1. y = x⁴ + 4x, [-2; 1]

   • Производная: \[y' = 4x^3 + 4\]
   • Критические точки: \(4x^3 + 4 = 0 \Rightarrow x^3 = -1 \Rightarrow x = -1\).
   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • \(y(-2) = (-2)^4 + 4(-2) = 16 - 8 = 8\)
   • \(y(1) = 1^4 + 4(1) = 1 + 4 = 5\)
   • \(y(-1) = (-1)^4 + 4(-1) = 1 - 4 = -3\)

   Ответ: Наибольшее значение: 8, наименьшее значение: -3.

2. 2. y = 2x² - 4x³, [-1; 2]

   • Производная: \[y' = 4x - 12x^2\]
   • Критические точки: \(4x - 12x^2 = 0 \Rightarrow 4x(1 - 3x) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \frac{1}{3}\).
   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
   • \(y(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1)^3 = 2 + 4 = 6\)
   • \(y(2) = 2(2)^2 - 4(2)^3 = 8 - 32 = -24\)
   • \(y(0) = 2(0)^2 - 4(0)^3 = 0\)
   • \(y(\frac{1}{3}) = 2(\frac{1}{3})^2 - 4(\frac{1}{3})^3 = \frac{2}{9} - \frac{4}{27} = \frac{6 - 4}{27} = \frac{2}{27}\)

   Ответ: Наибольшее значение: 6, наименьшее значение: -24.

3. 3. y = \(\frac{2x^3}{3}\) - \(\frac{5x^2}{2}\) + 3x, [0; 2]

   • Производная: \[y' = 2x^2 - 5x + 3\]
   • Критические точки: \(2x^2 - 5x + 3 = 0 \Rightarrow (2x - 3)(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 1, x = \frac{3}{2}\).
   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
   • \(y(0) = \frac{2(0)^3}{3} - \frac{5(0)^2}{2} + 3(0) = 0\)
   • \(y(2) = \frac{2(2)^3}{3} - \frac{5(2)^2}{2} + 3(2) = \frac{16}{3} - 10 + 6 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16 - 12}{3} = \frac{4}{3}\)
   • \(y(1) = \frac{2(1)^3}{3} - \frac{5(1)^2}{2} + 3(1) = \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 3 = \frac{4 - 15 + 18}{6} = \frac{7}{6}\)
   • \(y(\frac{3}{2}) = \frac{2(\frac{3}{2})^3}{3} - \frac{5(\frac{3}{2})^2}{2} + 3(\frac{3}{2}) = \frac{2(\frac{27}{8})}{3} - \frac{5(\frac{9}{4})}{2} + \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{45}{8} + \frac{36}{8} = \frac{18 - 45 + 36}{8} = \frac{9}{8}\)

   Ответ: Наибольшее значение: \(\frac{4}{3}\), наименьшее значение: 0.

4. 4. y = \(\frac{x^4}{2}\) - x², [-2; 1]

   • Производная: \[y' = 2x^3 - 2x\]
   • Критические точки: \(2x^3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = -1, x = 1\).
   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
   • \(y(-2) = \frac{(-2)^4}{2} - (-2)^2 = \frac{16}{2} - 4 = 8 - 4 = 4\)
   • \(y(1) = \frac{(1)^4}{2} - (1)^2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\)
   • \(y(0) = \frac{(0)^4}{2} - (0)^2 = 0\)
   • \(y(-1) = \frac{(-1)^4}{2} - (-1)^2 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}\)

   Ответ: Наибольшее значение: 4, наименьшее значение: -\(\frac{1}{2}\).

5. 5. y = \(\frac{x^3}{3}\) - \(\frac{x^2}{2}\) + 2x, [-1; 3]

   • Производная: \[y' = x^2 - x + 2\]
   • Критические точки: \(x^2 - x + 2 = 0\) . Дискриминант: \(D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7\). Критических точек нет.
   • Вычисляем значения функции на концах отрезка:
   • \(y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{2 + 3 + 12}{6} = -\frac{17}{6}\)
   • \(y(3) = \frac{(3)^3}{3} - \frac{(3)^2}{2} + 2(3) = \frac{27}{3} - \frac{9}{2} + 6 = 9 - \frac{9}{2} + 6 = 15 - \frac{9}{2} = \frac{30 - 9}{2} = \frac{21}{2}\)

   Ответ: Наибольшее значение: \(\frac{21}{2}\), наименьшее значение: -\(\frac{17}{6}\).

6. 6. y = 3x - x³, [-2; 2]

   • Производная: \[y' = 3 - 3x^2\]
   • Критические точки: \(3 - 3x^2 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = -1, x = 1\).
   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
   • \(y(-2) = 3(-2) - (-2)^3 = -6 - (-8) = -6 + 8 = 2\)
   • \(y(2) = 3(2) - (2)^3 = 6 - 8 = -2\)
   • \(y(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 - (-1) = -3 + 1 = -2\)
   • \(y(1) = 3(1) - (1)^3 = 3 - 1 = 2\)

   Ответ: Наибольшее значение: 2, наименьшее значение: -2.

7. 7. y = x⁴ - 2x² + 1, [-2; 2]

   • Производная: \[y' = 4x^3 - 4x\]
   • Критические точки: \(4x^3 - 4x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Rightarrow x = 0, x = -1, x = 1\).
   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
   • \(y(-2) = (-2)^4 - 2(-2)^2 + 1 = 16 - 8 + 1 = 9\)
   • \(y(2) = (2)^4 - 2(2)^2 + 1 = 16 - 8 + 1 = 9\)
   • \(y(0) = (0)^4 - 2(0)^2 + 1 = 1\)
   • \(y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\)
   • \(y(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0\)

   Ответ: Наибольшее значение: 9, наименьшее значение: 0.

8. 8. y = \(\frac{x^3}{3}\) - \(\frac{x^2}{2}\) - 2x, [-2; 3]

   • Производная: \[y' = x^2 - x - 2\]
   • Критические точки: \(x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2, x = -1\).
   • Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:
   • \(y(-2) = \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} - 2(-2) = -\frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 4 = -\frac{8}{3} - 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 2 = \frac{-8 + 6}{3} = -\frac{2}{3}\)
   • \(y(3) = \frac{(3)^3}{3} - \frac{(3)^2}{2} - 2(3) = \frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 6 = 9 - \frac{9}{2} - 6 = 3 - \frac{9}{2} = \frac{6 - 9}{2} = -\frac{3}{2}\)
   • \(y(2) = \frac{(2)^3}{3} - \frac{(2)^2}{2} - 2(2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 2 - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = -\frac{10}{3}\)
   • \(y(-1) = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2 - 3 + 12}{6} = \frac{7}{6}\)

   Ответ: Наибольшее значение: \(\frac{7}{6}\), наименьшее значение: -\(\frac{10}{3}\).

Ответ: смотри решение