ЗАДАНИЕ 9 Найдите наименьшее трёхзначное натуральное число, которое при делении на 6 и на 11 даёт равные ненулевые остатки, и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

Приветствую! Давай решим эту интересную задачу вместе.

1. Анализ условия:

* Нам нужно найти наименьшее трехзначное число.
* При делении этого числа на 6 и на 11 должны получаться одинаковые ненулевые остатки.
* Средняя цифра этого числа должна быть средним арифметическим двух крайних цифр.

2. Поиск числа с одинаковыми остатками:

* Пусть наше число равно $$x$$, а остаток равен $$r$$. Тогда:

$$x = 6k_1 + r$$
$$x = 11k_2 + r$$

где $$k_1$$ и $$k_2$$ - некоторые целые числа.

* Вычитая одно уравнение из другого, получаем:

$$0 = 6k_1 - 11k_2$$
$$6k_1 = 11k_2$$

* Это означает, что $$6k_1$$ должно делиться на 11, а $$11k_2$$ должно делиться на 6. Поскольку 6 и 11 - взаимно простые числа, то $$k_1$$ должно делиться на 11, а $$k_2$$ должно делиться на 6.

* Пусть $$k_1 = 11n$$ и $$k_2 = 6n$$, где $$n$$ - целое число. Подставляя это в исходные уравнения, получаем:

$$x = 6(11n) + r = 66n + r$$
$$x = 11(6n) + r = 66n + r$$

* Таким образом, наше число $$x$$ должно иметь вид $$66n + r$$.

3. Определение наименьшего трехзначного числа:

* Нам нужно найти наименьшее трехзначное число такого вида. Для этого найдем наименьшее целое $$n$$, при котором $$66n + r \ge 100$$.
* При $$n = 1$$ получаем $$66 + r$$. Так как $$r$$ не может быть равно 0, чтобы число было трехзначным, $$n$$ должно быть больше.
* При $$n = 2$$ получаем $$66 cdot 2 = 132$$, $$x = 132 + r$$. Поскольку остаток $$r$$ должен быть меньше 6 и 11, то максимальное значение $$r$$ может быть 5. Таким образом, наименьшее трехзначное число будет, когда $$r = 1$$, $$x = 132 + 1 = 133$$.
* Если $$n=1$$, то наименьшее трехзначное число можно получить, взяв $$r$$ побольше. Остаток должен быть меньше делителя, то есть $$r<6$$. Тогда $$x = 66 + r$$. Чтобы $$x$$ было трехзначным числом, $$r$$ должно быть не меньше $$100 - 66 = 34$$, что невозможно, так как $$r<6$$.

4. Проверка условия про среднюю цифру:

* Теперь нам нужно проверить, удовлетворяет ли число 133 условию, что средняя цифра является средним арифметическим крайних цифр.
* В числе 133 средняя цифра равна 3, а среднее арифметическое крайних цифр равно $$\frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$. Это условие не выполняется.

5. Поиск подходящего числа:

* Нужно найти другое число вида $$66n + r$$, которое удовлетворяет условию про среднюю цифру. Рассмотрим следующие варианты:

* При $$n = 2$$, $$x = 66 cdot 2 + r = 132 + r$$. Возможные числа: 133, 134, 135, 136, 137.
* Пусть число имеет вид $$a, b, c$$, где $$b = \frac{a + c}{2}$$. Тогда $$2b = a + c$$.

* Проверим число 132+r = 135.
* $$a=1, c=5, b=3$$.
* Проверяем условие средней цифры $$3 = \frac{1+5}{2} = 3$$. Условие выполняется.
* Проверяем условие остатков при делении на 6 и 11.
* $$135 \div 6 = 22$$ (остаток 3)
* $$135 \div 11 = 12$$ (остаток 3)

6. Финальный ответ:

* Число 135 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 135