Задание 2.2.10 Найдите все корни полинома 8x³-36x2 +54x-27 = 0

Для решения данного уравнения необходимо найти все корни полинома:

$$8x^3 - 36x^2 + 54x - 27 = 0$$

Заметим, что данное выражение можно представить как куб разности:

$$(2x)^3 - 3 \cdot (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 - 3^3 = 0$$

Это соответствует формуле:

$$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

В нашем случае a = 2x и b = 3. Поэтому уравнение можно переписать как:

$$(2x - 3)^3 = 0$$

Чтобы куб выражения был равен нулю, само выражение должно быть равно нулю:

$$2x - 3 = 0$$

Решим это уравнение относительно x:

$$2x = 3$$ $$x = \frac{3}{2}$$ $$x = 1.5$$

Так как это кубическое уравнение, у него может быть до трех корней. Однако в данном случае у нас есть только один корень, так как уравнение имеет вид полного куба, и этот корень является трехкратным.

Ответ: x = 1.5