ЗАДАНИЕ №6 Найдите значение выражения a) $$\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}\right) \cdot 3 + \left(\frac{5}{6} - \frac{1}{2}\right) : \frac{2}{9};$$ б) $$\left(1 \frac{1}{5} + 2 \frac{3}{10}\right) : \frac{1}{2} + \left(6 \frac{3}{4} - 2 \frac{2}{3}\right) : 1 \frac{1}{6}.$$

a) Выполним действия по порядку:

1. Сначала сложение в первой скобке: $$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9+2}{12} = \frac{11}{12}$$.
2. Умножение на 3: $$\frac{11}{12} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{12} = \frac{33}{12} = \frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}$$.
3. Сложение во второй скобке: $$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$.
4. Деление на $$\frac{2}{9}$$: $$\frac{1}{3} : \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2}$$.
5. Сложение результатов: $$2 \frac{3}{4} + 1 \frac{1}{2} = 2 \frac{3}{4} + 1 \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 2 \frac{3}{4} + 1 \frac{2}{4} = (2+1) + \frac{3+2}{4} = 3 + \frac{5}{4} = 3 + 1 \frac{1}{4} = 4 \frac{1}{4}$$.

Ответ: $$4 \frac{1}{4}$$.

б) Выполним действия по порядку:

1. Сложение в первой скобке: $$1 \frac{1}{5} + 2 \frac{3}{10} = 1 \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} + 2 \frac{3}{10} = 1 \frac{2}{10} + 2 \frac{3}{10} = (1+2) + \frac{2+3}{10} = 3 + \frac{5}{10} = 3 \frac{1}{2}$$.
2. Деление на $$\frac{1}{2}$$: $$3 \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} : \frac{1}{2} = \frac{7}{2} : \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{1} = \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$$.
3. Вычитание во второй скобке: $$6 \frac{3}{4} - 2 \frac{2}{3} = 6 \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} - 2 \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = 6 \frac{9}{12} - 2 \frac{8}{12} = (6-2) + \frac{9-8}{12} = 4 + \frac{1}{12} = 4 \frac{1}{12}$$.
4. Деление на $$1 \frac{1}{6}$$: $$4 \frac{1}{12} : 1 \frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 12 + 1}{12} : \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{49}{12} : \frac{7}{6} = \frac{49}{12} \cdot \frac{6}{7} = \frac{49 \cdot 6}{12 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2} = 3 \frac{1}{2}$$.
5. Сложение результатов: $$7 + 3 \frac{1}{2} = 10 \frac{1}{2}$$.

Ответ: $$10 \frac{1}{2}$$.