Задание 1 Найти промежутки возрастания и убывания функции (1-17). 1 1.2 y=x-5. 3 3.3 y = 4x² - 7x. 2.2 y = -2x + 8. 4.4 y = -x³ + 2x². 5.4 y = x³- 6x2. 6.4 y = x² - 15x. 7.4 y = x² - 2x². 8.4 y = x² + 32x. 9.4 y = 2x3 - 6x² - 18x + 4. 1 10.5 y = x-4 11.5 y = 2x-3. x-1 12.4 y = √x-5. x²+x-4 14.6 y = x2 15. 6 y = (x + 2) e**. 16.5 y = cos x + 3x. 17.7 y = sin x + 3. Задание 2 1) Построить эскиз графика непрерывной функции y=f(x), определен b=4, f(-5)=1, f(4)=-3, f'(x) <0 при -5<x<-1, f'(x)>0 при -1<х<4, f'(-1)=0 2) Построить эскиз графика непрерывной функции y=f(x), определен b=6, f(0)=0, f(1)=2, f(4)=-2, f(6)=3, f'(x) <0 при 1<x<4, f'(x)>0 при 0<x<

1. y = (1/3)x - 5

Производная: y' = 1/3

Так как производная положительна на всей числовой прямой, функция возрастает на всей области определения.

2. y = -2x + 8

Производная: y' = -2

Так как производная отрицательна на всей числовой прямой, функция убывает на всей области определения.

3. y = 4x² - 7x

Производная: y' = 8x - 7

Чтобы найти нули производной, решим уравнение: 8x - 7 = 0, откуда x = 7/8

При x < 7/8, y' < 0 (функция убывает)

При x > 7/8, y' > 0 (функция возрастает)

4. y = -x³ + 2x²

Производная: y' = -3x² + 4x

Чтобы найти нули производной, решим уравнение: -3x² + 4x = 0, откуда x(4 - 3x) = 0

x = 0 или x = 4/3

При x < 0, y' < 0 (функция убывает)

При 0 < x < 4/3, y' > 0 (функция возрастает)

При x > 4/3, y' < 0 (функция убывает)

5. y = x³ - 6x²

Производная: y' = 3x² - 12x

Чтобы найти нули производной, решим уравнение: 3x² - 12x = 0, откуда 3x(x - 4) = 0

x = 0 или x = 4

При x < 0, y' > 0 (функция возрастает)

При 0 < x < 4, y' < 0 (функция убывает)

При x > 4, y' > 0 (функция возрастает)

6. y = x² - 15x

Производная: y' = 2x - 15

Чтобы найти нули производной, решим уравнение: 2x - 15 = 0, откуда x = 15/2 = 7.5

При x < 7.5, y' < 0 (функция убывает)

При x > 7.5, y' > 0 (функция возрастает)

7. y = x⁴ - 2x²

Производная: y' = 4x³ - 4x

Чтобы найти нули производной, решим уравнение: 4x³ - 4x = 0, откуда 4x(x² - 1) = 0

x = 0, x = 1 или x = -1

При x < -1, y' < 0 (функция убывает)

При -1 < x < 0, y' > 0 (функция возрастает)

При 0 < x < 1, y' < 0 (функция убывает)

При x > 1, y' > 0 (функция возрастает)

8. y = x⁴ + 32x

Производная: y' = 4x³ + 32

Чтобы найти нули производной, решим уравнение: 4x³ + 32 = 0, откуда x³ = -8

x = -2

При x < -2, y' < 0 (функция убывает)

При x > -2, y' > 0 (функция возрастает)

9. y = 2x³ - 6x² - 18x + 4

Производная: y' = 6x² - 12x - 18

Чтобы найти нули производной, решим уравнение: 6x² - 12x - 18 = 0, откуда x² - 2x - 3 = 0

x = 3 или x = -1

При x < -1, y' > 0 (функция возрастает)

При -1 < x < 3, y' < 0 (функция убывает)

При x > 3, y' > 0 (функция возрастает)

10. y = 1/(x - 4)

Производная: y' = -1/(x - 4)²

Так как производная отрицательна везде, где определена (x ≠ 4), функция убывает на интервалах (-∞, 4) и (4, +∞).

11. y = (2x - 3)/(x - 1)

Производная: y' = [(2)(x-1) - (2x-3)(1)] / (x-1)² = (2x-2 - 2x + 3) / (x-1)² = 1/(x-1)²

Производная положительна везде, где определена (x ≠ 1), функция возрастает на интервалах (-∞, 1) и (1, +∞).

12. y = √(x - 5)

Производная: y' = 1/(2√(x - 5))

Функция определена при x ≥ 5. Производная положительна при x > 5, следовательно, функция возрастает на [5, +∞).

13. y = -√(x + 1)

Производная: y' = -1/(2√(x + 1))

Функция определена при x ≥ -1. Производная отрицательна при x > -1, следовательно, функция убывает на [-1, +∞).

14. y = (x² + x - 4) / x²

Производная: y' = [(2x + 1)(x²) - (x² + x - 4)(2x)] / x⁴ = (2x³ + x² - 2x³ - 2x² + 8x) / x⁴ = (-x² + 8x) / x⁴ = (8 - x) / x³

Нули производной: x = 8

Разрыв: x = 0

При x < 0, y' < 0 (функция убывает)

При 0 < x < 8, y' > 0 (функция возрастает)

При x > 8, y' < 0 (функция убывает)

15. y = (x + 2)eˣ

Производная: y' = eˣ + (x + 2)eˣ = (x + 3)eˣ

Нуль производной: x = -3

При x < -3, y' < 0 (функция убывает)

При x > -3, y' > 0 (функция возрастает)

16. y = cos x + 3x

Производная: y' = -sin x + 3

Так как -1 ≤ sin x ≤ 1, то -sin x + 3 > 0 для всех x. Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

17. y = sin x + 3

Производная: y' = cos x

y' = 0 при x = π/2 + πk, где k - целое число

При 2πk - π/2 < x < 2πk + π/2, y' > 0 (функция возрастает)

При 2πk + π/2 < x < 2πk + 3π/2, y' < 0 (функция убывает)

Для построения эскиза графика непрерывной функции y=f(x) при заданных условиях:

b=4, f(-5)=1, f(4)=-3, f'(x) < 0 при -50 при -1

• Функция убывает на интервале (-5, -1), так как f'(x) < 0.
• Функция возрастает на интервале (-1, 4), так как f'(x) > 0.
• В точке x = -1 функция имеет локальный минимум, так как f'(-1) = 0.
• График проходит через точки (-5, 1) и (4, -3).

Эскиз графика: начинаем в точке (-5, 1), убываем до точки (-1, минимум), затем возрастаем до точки (4, -3).

Для построения эскиза графика непрерывной функции y=f(x) при заданных условиях:

b=6, f(0)=0, f(1)=2, f(4)=-2, f(6)=3, f'(x) < 0 при 10 при 0

• Функция возрастает на интервале (0, 1), так как f'(x) > 0.
• Функция убывает на интервале (1, 4), так как f'(x) < 0.
• Функция возрастает на интервале (4, 6), так как f'(x) > 0.
• В точке x = 1 функция имеет локальный максимум, а в точке x = 4 - локальный минимум.
• График проходит через точки (0, 0), (1, 2), (4, -2) и (6, 3).

Эскиз графика: начинаем в точке (0, 0), возрастаем до точки (1, 2), затем убываем до точки (4, -2), после чего возрастаем до точки (6, 3).