Задание N5 (доля отличников) • Исследовать ф-циго и пверосить градник y= X3 X2-1 ② Исследовать ф-цио и построить градник y=3X x+1

Задание №5 (для отличников)

Привет! Давай вместе решим эти интересные задачи на исследование функций и построение графиков. Уверена, у тебя всё получится!

1. Исследовать функцию и построить график:

\[ y = \frac{x^3}{x^2 - 1} \]

Решение:

1. Область определения:

Функция определена, когда знаменатель не равен нулю: \[ x^2 - 1
eq 0 \] \[ x
eq \pm 1 \] Таким образом, область определения: \[ x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) \]

2. Четность/нечетность:

Проверим функцию на четность: \[ y(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 - 1} = \frac{-x^3}{x^2 - 1} = -\frac{x^3}{x^2 - 1} = -y(x) \] Функция нечетная, значит, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечение с осями координат:

С осью OX (y = 0): \[ \frac{x^3}{x^2 - 1} = 0 \] \[ x = 0 \] Точка пересечения: (0, 0). С осью OY (x = 0): \[ y = \frac{0^3}{0^2 - 1} = 0 \] Точка пересечения: (0, 0).

4. Асимптоты:

Вертикальные асимптоты: x = -1 и x = 1 (так как в этих точках функция не определена). Горизонтальные асимптоты: Проверим наличие горизонтальной асимптоты: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{1 - \frac{1}{x^2}} = \pm \infty \] Горизонтальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: Найдем наклонную асимптоту вида y = kx + b: \[ k = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x(x^2 - 1)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1 \] \[ b = \lim_{x \to \pm \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \pm \infty} (\frac{x^3}{x^2 - 1} - x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - x^3 + x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2 - 1} = 0 \] Таким образом, наклонная асимптота: y = x.

5. Производная и экстремумы:

Найдем первую производную: \[ y' = \frac{3x^2(x^2 - 1) - x^3(2x)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{3x^4 - 3x^2 - 2x^4}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 3x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2} \] Приравняем производную к нулю: \[ \frac{x^2(x^2 - 3)}{(x^2 - 1)^2} = 0 \] \[ x^2(x^2 - 3) = 0 \] Корни: x = 0, x = \pm \sqrt{3}.

6. Интервалы возрастания и убывания:

Определим знаки производной на различных интервалах: x < -\sqrt{3}: y' > 0 (функция возрастает) -\sqrt{3} < x < -1: y' < 0 (функция убывает) -1 < x < 0: y' < 0 (функция убывает) 0 < x < 1: y' < 0 (функция убывает) 1 < x < \sqrt{3}: y' < 0 (функция убывает) x > \sqrt{3}: y' > 0 (функция возрастает)

7. Точки экстремума:

x = -\sqrt{3}: точка максимума. x = \sqrt{3}: точка минимума. x = 0: не является точкой экстремума.

8. Значения в точках экстремума:

y(-\sqrt{3}) = \frac{(-\sqrt{3})^3}{(-\sqrt{3})^2 - 1} = \frac{-3\sqrt{3}}{3 - 1} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} y(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3}{(\sqrt{3})^2 - 1} = \frac{3\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3\sqrt{3}}{2}

2. Исследовать функцию и построить график:

\[ y = \frac{3x}{x^2 + 1} \]

Решение:

1. Область определения:

Функция определена для всех действительных чисел, так как знаменатель всегда положителен: \[ x^2 + 1 > 0 \] Таким образом, область определения: \[ x \in (-\infty, +\infty) \]

2. Четность/нечетность:

Проверим функцию на четность: \[ y(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-3x}{x^2 + 1} = -\frac{3x}{x^2 + 1} = -y(x) \] Функция нечетная, значит, график симметричен относительно начала координат.

3. Пересечение с осями координат:

С осью OX (y = 0): \[ \frac{3x}{x^2 + 1} = 0 \] \[ x = 0 \] Точка пересечения: (0, 0). С осью OY (x = 0): \[ y = \frac{3 \cdot 0}{0^2 + 1} = 0 \] Точка пересечения: (0, 0).

4. Асимптоты:

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена для всех x. Горизонтальные асимптоты: Проверим наличие горизонтальной асимптоты: \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{3x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 0 \] Таким образом, горизонтальная асимптота: y = 0.

5. Производная и экстремумы:

Найдем первую производную: \[ y' = \frac{3(x^2 + 1) - 3x(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{3(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} \] Приравняем производную к нулю: \[ \frac{3(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 1 - x^2 = 0 \] Корни: x = \pm 1.

6. Интервалы возрастания и убывания:

Определим знаки производной на различных интервалах: x < -1: y' < 0 (функция убывает) -1 < x < 1: y' > 0 (функция возрастает) x > 1: y' < 0 (функция убывает)

7. Точки экстремума:

x = -1: точка минимума. x = 1: точка максимума.

8. Значения в точках экстремума:

y(-1) = \frac{3(-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{-3}{1 + 1} = -\frac{3}{2} y(1) = \frac{3 \cdot 1}{1^2 + 1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}

Ответ: Исследование функций проведено, основные характеристики найдены.

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!