ЗАДАНИЕ №3 Отрезки $$AB$$ и $$MN$$ пересекаются в точке $$O$$. Известно, что $$AO = OB = 13$$ см и $$MO = ON$$. Отмеченные на рисунке углы равны. Найдите расстояние между точками $$A$$ и $$M$$, если периметр треугольника $$BON$$ составляет 33 см. $$AM$$ = ?

Рассмотрим треугольники $$\triangle AOM$$ и $$\triangle BON$$.

1) $$AO = OB$$ (по условию);

2) $$MO = ON$$ (по условию);

3) $$\angle AOM = \angle BON$$ (как вертикальные).

Следовательно, $$\triangle AOM = \triangle BON$$ по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что $$AM = BN$$.

Периметр треугольника $$BON$$ равен $$BO + ON + BN = 33$$ см (по условию).

Так как $$BO = 13$$ см, то $$13 + ON + BN = 33$$, следовательно $$ON + BN = 33 - 13 = 20$$ см.

Так как $$MO = ON$$ и $$AM = BN$$, то $$ON + BN = MO + AM = 20$$ см, следовательно $$AM = 20 - MO$$

Так как $$MO + AM = 20$$ см и $$ON + BN = 20$$ см, а $$ON = MO$$ и $$AM = BN$$, то $$MO + BN = 20$$ см.

Тогда $$AM = BN = 20 - MO$$

Треугольники $$\triangle AOM$$ и $$\triangle BON$$ равны, следовательно периметры их тоже равны.

Периметр треугольника $$\triangle AOM$$ равен $$AO + AM + MO = 13 + AM + MO$$.

Периметр треугольника $$\triangle BON$$ равен $$BO + ON + BN = 13 + ON + BN = 33$$ см.

Т.к. $$AM = BN$$ и $$ON=MO$$, то $$13 + AM + MO = 33$$ см, следовательно $$AM + MO = 33 - 13 = 20$$ см.

Т.к. $$AM + MO = 20$$ см и $$MO = ON$$, а периметр $$\triangle BON$$ = $$33$$ см = $$ON + BN + BO = ON + AM + 13$$ (см), то $$ON + AM = 20$$ см.

Т.к. $$BN = AM$$, то $$ON = MO = (33-13) \div 2 = 10$$ см.

Из равенства треугольников следует $$AM=BN = \frac{33-13}{2}=10$$ см.

Следовательно, $$AM = 10$$ см.

$$AM = $$10 см