Задание: Параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 12, AC = 42, NC = 48.

Решение:

Так как MN параллельна AC, то треугольник MBN подобен треугольнику ABC по двум углам (угол B общий, \( \angle BMN = \angle BAC \) как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB).

Из подобия следует пропорциональность сторон:

\( \frac{BM}{BA} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \).

Подставим известные значения:

\( \frac{MN}{AC} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \).

Значит, \( \frac{BN}{BC} = \frac{2}{7} \).

Мы знаем, что \( BC = BN + NC \).

Подставим это в пропорцию:

\( \frac{BN}{BN + NC} = \frac{2}{7} \).

\( \frac{BN}{BN + 48} = \frac{2}{7} \).

Решим уравнение:

\( 7 \cdot BN = 2 \cdot (BN + 48) \)

\( 7BN = 2BN + 96 \)

\( 7BN - 2BN = 96 \)

\( 5BN = 96 \)

\( BN = \frac{96}{5} = 19.2 \).

Ответ: 19.2