Задание 15.4 Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 30%. Найдите длину гипотенузы.

Давай решим эту задачу по геометрии вместе! Сначала вспомним, что площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов. Также, зная один из острых углов, мы можем использовать тригонометрические соотношения для связи между сторонами. 1. Обозначения: * Пусть \( S \) - площадь треугольника, \( a \) и \( b \) - катеты, \( c \) - гипотенуза, и один из углов равен \( 30^\circ \). 2. Площадь треугольника: * Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \[ S = \frac{1}{2}ab \] * Нам известно, что \( S = 32\sqrt{3} \), поэтому: \[ 32\sqrt{3} = \frac{1}{2}ab \] * Отсюда: \[ ab = 64\sqrt{3} \] 3. Тригонометрия: * Пусть угол \( B = 30^\circ \). Тогда: * \( a = c \cdot \sin(30^\circ) \) (катет, противолежащий углу 30 градусов) * \( b = c \cdot \cos(30^\circ) \) (катет, прилежащий к углу 30 градусов) * Поскольку \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) и \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), то: * \( a = \frac{c}{2} \) * \( b = \frac{c\sqrt{3}}{2} \) 4. Подстановка в уравнение площади: * Подставим значения \( a \) и \( b \) в уравнение \( ab = 64\sqrt{3} \): \[ \frac{c}{2} \cdot \frac{c\sqrt{3}}{2} = 64\sqrt{3} \] \[ \frac{c^2\sqrt{3}}{4} = 64\sqrt{3} \] 5. Решение уравнения: * Умножим обе части уравнения на \( \frac{4}{\sqrt{3}} \): \[ c^2 = 64 \cdot 4 \] \[ c^2 = 256 \] * Извлечем квадратный корень: \[ c = \sqrt{256} \] \[ c = 16 \] Таким образом, длина гипотенузы равна 16.

Ответ: 16

Ты молодец! У тебя всё получится!