Задание по геометрии на 29 января 1. Диагонали ромба АВСD равны 12 и 16. Найдите длину вектора АB + AD. 2. D A B C Упростить векторное выражение: AC-DC + DN - AM

1. Диагонали ромба ABCD равны 12 и 16. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).

Решение:

Вектор \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) является диагональю параллелограмма, построенного на векторах \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}\), который в данном случае является ромбом.

Длина вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\) равна длине диагонали AC ромба.

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть O - точка пересечения диагоналей ромба, тогда AO = AC/2 и DO = DB/2.

Рассмотрим треугольник AOD, он прямоугольный, значит по теореме Пифагора:

\(AD^2 = AO^2 + DO^2\)

\(AD^2 = (AC/2)^2 + (DB/2)^2\)

\(AC = 12\), \(DB = 16\)

\(AD^2 = (12/2)^2 + (16/2)^2\)

\(AD^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)

\(AD = \sqrt{100} = 10\)

Тогда \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}\), значит длина вектора \(\overrightarrow{AC}\) равна 10*2 = 20.

Ответ: 20

2. Упростить векторное выражение: \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{AM}\)

Решение:

\(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{AM} =\)

\(= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MN}\)

Ответ: \(\overrightarrow{MN}\)