Задание. Построить геометрическую фигуру, ограниченную графиком функции y=f(x), y=g(x), прямыми х=a, x=b, осью абсцисс. Найти площадь фигуры двумя способами: 3. с помощью интеграла; 4. приближенно, разбивая соответствующую фигуру на п криволинейных трапеций и заменяя каждую из них соответствующей прямолинейной трапецией, то есть по формуле: b-a S₁ = n (yo Yo + Y1+Y2+...+Yn-1 +2+...+2-1+n) + 2y Сравнить полученные результаты: найти абсолютную погрешность AS = |S - S₁| AS и относительную погрешность є *100%. S Вариант 6. f(x)=√x; g(x)= 6-x; x =0, x = 6; n=6.

Решение:

Для варианта 6: f(x) = \(\sqrt{x}\), g(x) = 6 - x, a = 0, b = 6, n = 6.

Шаг 1: Найдем площадь фигуры с помощью интеграла.

Площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x) на отрезке [a, b], находится как интеграл от разности этих функций: \[ S = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx \]

В нашем случае: \[ S = \int_0^6 |\sqrt{x} - (6 - x)| dx \]

Найдем точку пересечения графиков функций \(\sqrt{x}\) и \(6 - x\): \[ \sqrt{x} = 6 - x \] \[ x = (6 - x)^2 \] \[ x = 36 - 12x + x^2 \] \[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение: \[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \] \[ x_1 = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x_2 = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Так как рассматриваем отрезок [0, 6], то подходит только корень x = 4.

Теперь интеграл разбивается на два интеграла: \[ S = \int_0^4 (\sqrt{x} - (6 - x)) dx + \int_4^6 ((6 - x) - \sqrt{x}) dx \]

Вычислим первый интеграл: \[ \int_0^4 (\sqrt{x} - (6 - x)) dx = \int_0^4 (x^{1/2} - 6 + x) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - 6x + \frac{1}{2}x^2 \right]_0^4 = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 6(4) + \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{2}{3}(8) - 24 + 8 = \frac{16}{3} - 16 = \frac{16 - 48}{3} = -\frac{32}{3} \]

Вычислим второй интеграл: \[ \int_4^6 ((6 - x) - \sqrt{x}) dx = \int_4^6 (6 - x - x^{1/2}) dx = \left[ 6x - \frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_4^6 = (6(6) - \frac{1}{2}(6)^2 - \frac{2}{3}(6)^{3/2}) - (6(4) - \frac{1}{2}(4)^2 - \frac{2}{3}(4)^{3/2}) = (36 - 18 - \frac{2}{3}6\sqrt{6}) - (24 - 8 - \frac{16}{3}) = 18 - 4\sqrt{6} - 16 + \frac{16}{3} = 2 - 4\sqrt{6} + \frac{16}{3} = \frac{6 + 16}{3} - 4\sqrt{6} = \frac{22}{3} - 4\sqrt{6} \]

Сложим модули интегралов: \[ S = |-\frac{32}{3}| + |\frac{22}{3} - 4\sqrt{6}| = \frac{32}{3} + 4\sqrt{6} - \frac{22}{3} = \frac{10}{3} + 4\sqrt{6} \approx 3.33 + 4 \cdot 2.45 = 3.33 + 9.8 = 13.13 \]

Шаг 2: Найдем площадь приближенным способом.

Используем формулу: \[ S_1 = \frac{b - a}{n} \left( \frac{1}{2}y_0 + y_1 + y_2 + ... + y_{n-1} + \frac{1}{2}y_n \right) \]

В нашем случае n = 6, a = 0, b = 6.

Нужно вычислить значения функций f(x) и g(x) в точках x_i = a + i * (b - a) / n, где i = 0, 1, ..., 6.

\( \Delta x = \frac{6 - 0}{6} = 1 \)

Вычислим значения f(x) = \(\sqrt{x}\) и g(x) = 6 - x:

• \( x_0 = 0 \), \( f(x_0) = \sqrt{0} = 0 \), \( g(x_0) = 6 - 0 = 6 \), \( y_0 = |0 - 6| = 6 \)
• \( x_1 = 1 \), \( f(x_1) = \sqrt{1} = 1 \), \( g(x_1) = 6 - 1 = 5 \), \( y_1 = |1 - 5| = 4 \)
• \( x_2 = 2 \), \( f(x_2) = \sqrt{2} \approx 1.41 \), \( g(x_2) = 6 - 2 = 4 \), \( y_2 = |1.41 - 4| = 2.59 \)
• \( x_3 = 3 \), \( f(x_3) = \sqrt{3} \approx 1.73 \), \( g(x_3) = 6 - 3 = 3 \), \( y_3 = |1.73 - 3| = 1.27 \)
• \( x_4 = 4 \), \( f(x_4) = \sqrt{4} = 2 \), \( g(x_4) = 6 - 4 = 2 \), \( y_4 = |2 - 2| = 0 \)
• \( x_5 = 5 \), \( f(x_5) = \sqrt{5} \approx 2.24 \), \( g(x_5) = 6 - 5 = 1 \), \( y_5 = |2.24 - 1| = 1.24 \)
• \( x_6 = 6 \), \( f(x_6) = \sqrt{6} \approx 2.45 \), \( g(x_6) = 6 - 6 = 0 \), \( y_6 = |2.45 - 0| = 2.45 \)

Подставим в формулу: \[ S_1 = \frac{6 - 0}{6} \left( \frac{1}{2}(6) + 4 + 2.59 + 1.27 + 0 + 1.24 + \frac{1}{2}(2.45) \right) = 1 \left( 3 + 4 + 2.59 + 1.27 + 0 + 1.24 + 1.225 \right) = 13.325 \]

Шаг 3: Сравним полученные результаты.

Абсолютная погрешность: \[ \Delta S = |S - S_1| = |13.13 - 13.325| = 0.195 \]

Относительная погрешность: \[ \epsilon = \frac{\Delta S}{S} * 100\% = \frac{0.195}{13.13} * 100\% \approx 1.49\% \]