Задание 1 Постройте график функции f(x) = -x²-8x-16 x-1 при х < -2, при х> -2. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки. mEx • Оформление ответа

Решение:

Рассмотрим функцию \[ f(x) = \begin{cases} -x^2 - 8x - 16, & \text{при } x < -2 \\ x - 1, & \text{при } x \geq -2 \end{cases} \]

Первая часть функции - парабола \[ -x^2 - 8x - 16 \], которая может быть переписана как \[ -(x+4)^2 \]. Это парабола с вершиной в точке (-4, 0), ветви направлены вниз.

Вторая часть функции - прямая \[ x - 1 \], определенная для \[ x \geq -2 \].

Найдем значение первой части функции в точке стыка x = -2: \[ f(-2) = -(-2)^2 - 8(-2) - 16 = -4 + 16 - 16 = -4 \]

Найдем значение второй части функции в точке стыка x = -2: \[ f(-2) = -2 - 1 = -3 \]

Таким образом, в точке x = -2 функция имеет разрыв: значение параболы равно -4, а значение прямой равно -3.

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

• Рассмотрим случай, когда m < -4: прямая y = m пересекает параболу в двух точках, так как парабола определена для x < -2 и ветви направлены вниз.
• Рассмотрим случай, когда m = -4: прямая y = -4 касается параболы в точке (-2, -4) и не пересекает прямую x - 1, так как x > -2. Таким образом, одна общая точка.
• Рассмотрим случай, когда -4 < m < -3: прямая y = m пересекает параболу в одной точке и не пересекает прямую x - 1 (до точки стыка).
• Рассмотрим случай, когда m = -3: прямая y = -3 пересекает параболу в одной точке (левее x = -2) и проходит через точку стыка прямой x - 1 (x = -2). Таким образом, две общие точки.
• Рассмотрим случай, когда m > -3: прямая y = m пересекает только прямую x - 1 в одной точке.

Таким образом, прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки, когда m < -4 или m = -3.

Ответ: m \(\in\) (-∞; -4) \(\) { -3 }

Проверка за 10 секунд: Проверьте график функции и убедитесь, что горизонтальная прямая y = m пересекает его ровно в двух точках при m < -4 и при m = -3.

Читерский прием Помни, что при анализе кусочно-заданных функций важно учитывать точки стыка и значения функций в этих точках.