Задание 1 Постройте график функции x²+4x+4 при х < -1, f(x) = 3 – x при х > -1. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки. ME I

Рассмотрим функцию \[ f(x) =\begin{cases} x^2 + 4x + 4, & \text{при } x \leq -1 \\ 3 - x, & \text{при } x > -1 \end{cases} \]

Первый кусок функции: \[ x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \] при \[ x \leq -1 \]. Это парабола с вершиной в точке \[ (-2, 0) \]. Так как \[ x \leq -1 \], то рассматриваем часть параболы от вершины и правее.

Второй кусок функции: \[ 3 - x \] при \[ x > -1 \]. Это прямая, убывающая с угловым коэффициентом -1.

Найдем значение первого куска функции при \[ x = -1 \]: \[ (-1+2)^2 = 1^2 = 1 \]

Найдем значение второго куска функции при \[ x \to -1 \]: \[ 3 - (-1) = 4 \]

Теперь определим, при каких значениях \[ m \] прямая \[ y = m \] имеет с графиком ровно две общие точки.

• При \[ m = 1 \] прямая \[ y = 1 \] касается параболы в точке \[ (-1, 1) \], и пересекает прямую \[ 3 - x \], то есть имеет две общие точки.
• При \[ 1 < m < 4 \] прямая \[ y = m \] пересекает параболу в двух точках и не пересекает прямую \[ 3 - x \], то есть имеет две общие точки.
• При \[ m = 4 \] прямая \[ y = 4 \] пересекает прямую \[ 3 - x \] в точке \[ (-1, 4) \], и не пересекает параболу, то есть имеет одну общую точку.

Таким образом, прямая \[ y = m \] имеет с графиком ровно две общие точки при \[ m \in [1; 4) \]

Ответ: \[ m \in [1; 4) \]