Задание 17 При каких значениях а уравнение х² + ах - а + 2 = 0 имеет два различных корня и сумма квадратов этих корней равна 4?

Решение:

Для того чтобы уравнение $$x^2 + ax - a + 2 = 0$$ имело два различных корня, его дискриминант должен быть больше нуля:

$$D = a^2 - 4(-a + 2) > 0$$

$$a^2 + 4a - 8 > 0$$

Найдем корни уравнения $$a^2 + 4a - 8 = 0$$:

$$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-8)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{48}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{3}$$

Таким образом, $$a < -2 - 2\sqrt{3}$$ или $$a > -2 + 2\sqrt{3}$$

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни уравнения. По теореме Виета:

$$x_1 + x_2 = -a$$

$$x_1x_2 = -a + 2$$

Нам дано, что $$x_1^2 + x_2^2 = 4$$. Выразим это через корни:

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = (-a)^2 - 2(-a + 2) = a^2 + 2a - 4 = 4$$

$$a^2 + 2a - 8 = 0$$

$$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-8)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = -1 \pm 3$$

$$a = 2$$ или $$a = -4$$

Проверим условия $$a < -2 - 2\sqrt{3}$$ или $$a > -2 + 2\sqrt{3}$$:

$$-2 + 2\sqrt{3} \approx -2 + 2 \cdot 1.732 = 1.464$$

$$2 > -2 + 2\sqrt{3}$$ - подходит

$$-4 < -2 - 2\sqrt{3} \approx -2 - 2 \cdot 1.732 = -5.464$$ - подходит

Ответ: 2, -4