Задание 6 Решить неравенство: 1) sin x cos \frac{\pi}{6} - cos x sin \frac{\pi}{6} \le \frac{1}{2} 2) 4 sin 2x cos 2x \ge \sqrt{2} 3) cos 2x cos 5x - sin 2x sin 5x < 0 4) \frac{tg\frac{\pi}{5}+tgx}{1-tg\frac{\pi}{5}tgx} < 1

Решаем неравенства:

1) sin x cos \(\frac{\pi}{6}\) - cos x sin \(\frac{\pi}{6}\) ≤ \(\frac{1}{2}\)

Используем формулу синуса разности: sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

sin(x - \(\frac{\pi}{6}\)) ≤ \(\frac{1}{2}\)

Решаем неравенство:

-\(\frac{7\pi}{6}\) + 2\(\pi\)k ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{6}\) + 2\(\pi\)k, k \(\in\) Z

2) 4 sin 2x cos 2x ≥ \(\sqrt{2}\)

Используем формулу синуса двойного угла: 2 sin a cos a = sin 2a

2 \( \cdot \) 2 sin 2x cos 2x ≥ \(\sqrt{2}\)

2 sin 4x ≥ \(\sqrt{2}\)

sin 4x ≥ \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Решаем неравенство:

\(\frac{\pi}{16}\) + \(\frac{\pi}{2}\)k ≤ x ≤ \(\frac{3\pi}{16}\) + \(\frac{\pi}{2}\)k, k \(\in\) Z

3) cos 2x cos 5x - sin 2x sin 5x < 0

Используем формулу косинуса суммы: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos(2x + 5x) < 0

cos 7x < 0

Решаем неравенство:

\(\frac{\pi}{14}\) + \(\frac{\pi}{7}\)k < x < \(\frac{3\pi}{14}\) + \(\frac{\pi}{7}\)k, k \(\in\) Z

4) \(\frac{tg\frac{\pi}{5}+tgx}{1-tg\frac{\pi}{5}tgx} \) < 1

Используем формулу тангенса суммы: tg(a + b) = \(\frac{tg a + tg b}{1 - tg a tg b}\)

tg(\(\frac{\pi}{5}\) + x) < 1

Решаем неравенство:

-\(\frac{\pi}{2}\) + \(\pi\)k < \(\frac{\pi}{5}\) + x < \(\frac{\pi}{4}\) + \(\pi\)k, k \(\in\) Z

-\(\frac{7\pi}{10}\) + \(\pi\)k < x < -\(\frac{\pi}{20}\) + \(\pi\)k, k \(\in\) Z