Задание (Решить задачи. Обязательно рисунок к задаче (циркулем, карандашом) Задача 1. Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 39°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах. Задача 2. Отрезки АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 74°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. Задача 3. Угол АОВ опирается на хорду АВ длиной 6. При этом угол ОАВ равен 60°. Найдите радиус окружности.

Задача 1

Смотри, тут всё просто: радиус, проведённый в точку касания, образует прямой угол с касательной (90°).

• Значит, угол OKM = 90°.
• Теперь рассмотрим треугольник OMK. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• Угол KMO = 39° (по условию).

Чтобы найти угол OMK, вычтем из 180° сумму углов OKM и KMO:

180° - (90° + 39°) = 180° - 129° = 51°

Ответ: 51°

Задача 2

Разбираемся: Угол ACB опирается на дугу AB. Центральный угол AOB опирается на ту же дугу.

• Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
• Но нам нужен угол AOD. Заметим, что углы AOD и AOB — смежные.
• Сумма смежных углов равна 180°.

Сначала найдём угол AOB:

Угол AOB = 2 * угол ACB = 2 * 74° = 148°

Теперь найдём угол AOD:

Угол AOD = 180° - угол AOB = 180° - 148° = 32°

Ответ: 32°

Задача 3

Логика такая: Угол OAB равен 60°. Так как OA и OB — радиусы окружности, треугольник OAB — равнобедренный (OA = OB).

• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Значит, угол OBA тоже равен 60°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол AOB = 180° - (60° + 60°) = 60°.

Получается, что все углы треугольника OAB равны 60°, а значит, это равносторонний треугольник.

В равностороннем треугольнике все стороны равны.

Так как AB = 6 (по условию), то и OA = OB = 6.

OA и OB — радиусы окружности.

Ответ: 6