Задание 15. Решите неравенство (log36x + 1)(\frac{1}{log36x} + 1) ≤ log36x.

Решение:

• Шаг 1: Ограничения

  Логарифм существует только для положительных чисел, поэтому необходимо учесть ограничения:

  \[x > 0\]

  \[\log_{36}x
  eq 0 \Rightarrow x
  eq 1\]

• Шаг 2: Упрощение неравенства

  Преобразуем неравенство:

  \[(\log_{36}x + 1)(\frac{1}{\log_{36}x} + 1) \leq \log_{36}x\]

  \[1 + \log_{36}x + \frac{1}{\log_{36}x} + 1 \leq \log_{36}x\]

  \[2 + \log_{36}x + \frac{1}{\log_{36}x} - \log_{36}x \leq 0\]

  \[2 + \frac{1}{\log_{36}x} \leq 0\]

  \[\frac{2\log_{36}x + 1}{\log_{36}x} \leq 0\]

• Шаг 3: Решение неравенства методом интервалов

  Рассмотрим функцию \[f(x) = \frac{2\log_{36}x + 1}{\log_{36}x}\]

  Найдем нули числителя и знаменателя:

  • Числитель: \[2\log_{36}x + 1 = 0 \Rightarrow \log_{36}x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 36^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{36}} = \frac{1}{6}\]

  • Знаменатель: \[\log_{36}x = 0 \Rightarrow x = 1\]

• Шаг 4: Метод интервалов

  Отметим точки 0, \(\frac{1}{6}\), 1 на числовой прямой и определим знаки функции на каждом интервале.

  +       -        +        +
  (0)----(1/6)----(1)----->
     

  Неравенство выполняется на интервале (\(0; \frac{1}{6}\)]

• Шаг 5: Учёт ОДЗ

  Учитывая ограничения \[x > 0\] и \[x
  eq 1\], находим решение неравенства:

  \[x \in (0; \frac{1}{6}]\]

• Шаг 6: Проверка решения

  Нужно также учесть, что \[\frac{2\log_{36}x + 1}{\log_{36}x} \leq 0\] при \[x \ge 36\]

  Получаем \[\log_{36}x > 0\]

  Если \[x \ge 36\] тогда \[\log_{36}x \ge 1 \Rightarrow 2 + \frac{1}{\log_{36}x} > 0\]

  Отсюда \[\frac{2\log_{36}x + 1}{\log_{36}x} > 0\]

  И \[x \in (0; \frac{1}{36}\)] \(\cup\) [36; +\(\infty\))\]