Задание 2 Решите систему уравнений { y² + x2 = 20, xy = 8.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}y^2 + x^2 = 20 \\ xy = 8\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим y через x:

$$y = \frac{8}{x}$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$(\frac{8}{x})^2 + x^2 = 20$$

$$\frac{64}{x^2} + x^2 = 20$$

Умножим обе части уравнения на $$x^2$$:

$$64 + x^4 = 20x^2$$

$$x^4 - 20x^2 + 64 = 0$$

Пусть $$z = x^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$z^2 - 20z + 64 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-20)^2 - 4(1)(64) = 400 - 256 = 144$$

$$z_1 = \frac{20 + \sqrt{144}}{2} = \frac{20 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16$$

$$z_2 = \frac{20 - \sqrt{144}}{2} = \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Вернемся к переменной x:

1. Если $$x^2 = 16$$, то $$x = \pm 4$$

   • Если $$x = 4$$, то $$y = \frac{8}{4} = 2$$
   • Если $$x = -4$$, то $$y = \frac{8}{-4} = -2$$

2. Если $$x^2 = 4$$, то $$x = \pm 2$$

   • Если $$x = 2$$, то $$y = \frac{8}{2} = 4$$
   • Если $$x = -2$$, то $$y = \frac{8}{-2} = -4$$

Решения системы уравнений:

$$(4; 2), (-4; -2), (2; 4), (-2; -4)$$

Ответ: $$(4; 2), (-4; -2), (2; 4), (-2; -4)$$