Задание 20 Решите уравнение $$\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{6}{x-3} - 16 = 0$$.

Решим уравнение: $$\frac{1}{(x-3)^2} - \frac{6}{x-3} - 16 = 0$$.

Обозначим $$t = \frac{1}{x-3}$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 6t - 16 = 0$$.

Решим квадратное уравнение.

По теореме Виета:

$$\begin{cases} t_1 + t_2 = 6 \\ t_1 \cdot t_2 = -16 \end{cases}$$

$$t_1 = -2$$

$$t_2 = 8$$

Вернемся к замене:

1) $$\frac{1}{x-3} = -2$$

$$1 = -2(x-3)$$

$$1 = -2x + 6$$

$$2x = 5$$

$$x_1 = 2.5$$

2) $$\frac{1}{x-3} = 8$$

$$1 = 8(x-3)$$

$$1 = 8x - 24$$

$$8x = 25$$

$$x_2 = \frac{25}{8} = 3.125$$

Проверим ОДЗ: $$x
eq 3$$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 2.5; 3.125