ЗАДАНИЕ №3 Решите уравнение с помощью замены переменной: (x² - 2x)² – 11x² + 22x + 24 = 0. Введите только необходимое число различных корней, последние поля ввода оставьте пустыми, если это необходимо. x₁ = x₂ = x₃ = x₄ =

Решим уравнение с помощью замены переменной.

(x² - 2x)² – 11x² + 22x + 24 = 0

Пусть t = x² - 2x, тогда уравнение примет вид:

t² - 11t + 24 = 0

Решим квадратное уравнение относительно t:

t² - 11t + 24 = 0

D = b² - 4ac = (-11)² - 4 · 1 · 24 = 121 - 96 = 25

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Вернемся к замене t = x² - 2x:

x² - 2x = 8

x² - 2x - 8 = 0

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

x² - 2x = 3

x² - 2x - 3 = 0

D = b² - 4ac = (-2)² - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

• x₁ = 4
• x₂ = -2
• x₃ = 3
• x₄ = -1

Ответ: x₁ = 4, x₂ = -2, x₃ = 3, x₄ = -1