ЗАДАНИЕ №2 Решите уравнение: x+2 x-6 + = 3. x-1 x+2 Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решим уравнение:

$$\frac{x+2}{x-1} + \frac{x-6}{x+2} = 3$$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$$\frac{(x+2)(x+2)}{(x-1)(x+2)} + \frac{(x-6)(x-1)}{(x-1)(x+2)} = 3$$ $$\frac{x^2 + 4x + 4 + x^2 - 7x + 6}{(x-1)(x+2)} = 3$$ $$\frac{2x^2 - 3x + 10}{(x-1)(x+2)} = 3$$ $$\frac{2x^2 - 3x + 10}{x^2 + x - 2} = 3$$

Умножим обе части на знаменатель:

$$2x^2 - 3x + 10 = 3(x^2 + x - 2)$$ $$2x^2 - 3x + 10 = 3x^2 + 3x - 6$$

Перенесем все в правую часть:

$$3x^2 - 2x^2 + 3x + 3x - 6 - 10 = 0$$ $$x^2 + 6x - 16 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$$ $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Проверим корни:

x = 2:

$$\frac{2+2}{2-1} + \frac{2-6}{2+2} = \frac{4}{1} + \frac{-4}{4} = 4 - 1 = 3$$

x = -8:

$$\frac{-8+2}{-8-1} + \frac{-8-6}{-8+2} = \frac{-6}{-9} + \frac{-14}{-6} = \frac{2}{3} + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Оба корня подходят.

Больший корень равен 2.

Ответ: 2