Задание 2. Решите уравнения: a) 2x27x+5=0 (8 баллов); 6) (√3-x) (√3+x) = 2 (8 баллов); в) x/x+2 + 4/x-3 = 20/х2-х-6 (12 баллов). Задание 3 (15 баллов). Решите систему уравнений: {x² + y² = 13; xy = 6;} Задание 4 (15 баллов). Составьте математическую модель задачи и решите её. Насос фирмы Б выкачивает на 6 литров воды в минуту больше, чем насос фирмы А. Сколько литров воды выкачает насос фирмы А за минуту, если объём воды в 140 литров он выкачивает на 3 минуты дольше, чем насос фирмы Б?

Задание 2

1. a) 2x² - 7x + 5 = 0

   Вычислим дискриминант:

   D = (-7)² - 4 * 2 * 5 = 49 - 40 = 9

   Найдем корни:

   x₁ = (7 + √9) / (2 * 2) = (7 + 3) / 4 = 10 / 4 = 2.5

   x₂ = (7 - √9) / (2 * 2) = (7 - 3) / 4 = 4 / 4 = 1

   Ответ: x₁ = 2.5, x₂ = 1

2. б) (√3 - x) (√3 + x) = 2

   Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов: (a - b)(a + b) = a² - b²

   3 - x² = 2

   x² = 3 - 2

   x² = 1

   x₁ = 1, x₂ = -1

   Ответ: x₁ = 1, x₂ = -1

3. в) \(\frac{x}{x+2} + \frac{4}{x-3} = \frac{20}{x^2-x-6}\)

   Приведем к общему знаменателю, учитывая, что x² - x - 6 = (x + 2)(x - 3):

   \(\frac{x(x-3) + 4(x+2)}{(x+2)(x-3)} = \frac{20}{(x+2)(x-3)}\)

   Учитывая, что знаменатели равны, приравняем числители:

   x(x - 3) + 4(x + 2) = 20

   x² - 3x + 4x + 8 = 20

   x² + x - 12 = 0

   Вычислим дискриминант:

   D = 1² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

   Найдем корни:

   x₁ = (-1 + √49) / (2 * 1) = (-1 + 7) / 2 = 6 / 2 = 3

   x₂ = (-1 - √49) / (2 * 1) = (-1 - 7) / 2 = -8 / 2 = -4

   Проверим ОДЗ: x ≠ -2, x ≠ 3

   x = 3 не является решением, так как знаменатель обращается в ноль.

   Ответ: x = -4

Задание 3

Решите систему уравнений:

\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ xy = 6 \end{cases} \)

Выразим y из второго уравнения: y = 6/x

Подставим в первое уравнение:

x² + (6/x)² = 13

x² + 36/x² = 13

x⁴ + 36 = 13x²

x⁴ - 13x² + 36 = 0

Замена: t = x²

t² - 13t + 36 = 0

D = (-13)² - 4 * 1 * 36 = 169 - 144 = 25

t₁ = (13 + √25) / 2 = (13 + 5) / 2 = 18 / 2 = 9

t₂ = (13 - √25) / 2 = (13 - 5) / 2 = 8 / 2 = 4

x² = 9 или x² = 4

x₁ = 3, x₂ = -3, x₃ = 2, x₄ = -2

Теперь найдем y для каждого x:

y = 6/x

Если x = 3, y = 6/3 = 2

Если x = -3, y = 6/(-3) = -2

Если x = 2, y = 6/2 = 3

Если x = -2, y = 6/(-2) = -3

Ответ: (3, 2), (-3, -2), (2, 3), (-2, -3)

Задание 4

Пусть x — количество литров, которое выкачивает насос фирмы A за минуту. Тогда насос фирмы Б выкачивает x + 6 литров в минуту.

Время, за которое насос фирмы A выкачивает 140 литров: 140/x

Время, за которое насос фирмы Б выкачивает 140 литров: 140/(x + 6)

По условию, насос фирмы A выкачивает 140 литров на 3 минуты дольше, чем насос фирмы Б:

140/x - 140/(x + 6) = 3

Умножим обе части уравнения на x(x + 6):

140(x + 6) - 140x = 3x(x + 6)

140x + 840 - 140x = 3x² + 18x

3x² + 18x - 840 = 0

Разделим на 3:

x² + 6x - 280 = 0

D = 6² - 4 * 1 * (-280) = 36 + 1120 = 1156

x₁ = (-6 + √1156) / (2 * 1) = (-6 + 34) / 2 = 28 / 2 = 14

x₂ = (-6 - √1156) / (2 * 1) = (-6 - 34) / 2 = -40 / 2 = -20

Так как количество литров не может быть отрицательным, выбираем x = 14

Ответ: 14 литров в минуту выкачивает насос фирмы A.