Задание: С помощью циркуля и линейки* построить описанную окружность около четырехугольника или доказать, что окружность около четырехугольника описать нельзя * Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам четырехугольника.

Решение:

Чтобы построить описанную окружность около четырехугольника, нужно выполнить следующие шаги:

1. Провести серединные перпендикуляры к двум сторонам четырехугольника. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину этого отрезка и перпендикулярная ему.
2. Найти точку пересечения этих перпендикуляров. Эта точка будет центром описанной окружности.
3. Проверить, лежит ли центр на серединных перпендикулярах к остальным сторонам. Если да, то около данного четырехугольника можно описать окружность.
4. Построить окружность с найденным центром и радиусом, равным расстоянию от центра до любой из вершин четырехугольника.

Доказательство возможности описания окружности:

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусам (\( \alpha + \gamma = 180^{\circ} \) и \( \beta + \delta = 180^{\circ} \)).

Построение:

Для построения описанной окружности нарисуем произвольный четырехугольник ABCD. Затем:

1. Построим серединный перпендикуляр к стороне AB.
2. Построим серединный перпендикуляр к стороне BC.
3. Точка пересечения этих перпендикуляров — центр O.
4. Проведем окружность с центром O и радиусом OA (или OB, OC, OD). Если все вершины лежат на окружности, построение выполнено верно.

Рисунок:

Примечание: Около любого треугольника можно описать окружность. Около произвольного четырехугольника описать окружность можно не всегда. Условием является сумма противоположных углов, равная 180 градусам.