Краткое пояснение. Внимательно читаем предложение, определяем часть речи, подбираем проверочные слова и вставляем пропущенные буквы и знаки препинания.
1) Я надолго запомнил этот ясный по-весеннему и теплый по-летнему день. (надолго - наречие, пишем слитно; по-весеннему, по-летнему - наречия, образованные от прилагательных с помощью приставки по- и суффиксов -ему, -ому, пишем через дефис).
2) Кое-где уже появились едва-едва заметные зеленые листочки. (кое-где - наречие, пишем через дефис; зеленые - зелень).
3) По-новому выглядел город. (по-новому - наречие, пишем через дефис; выглядел - гля́дя).
4) Во-первых, чуть-чуть дул ветерок, во-вторых, почти все окна открыты настежь, в-третьих, солнце светило по-царски, но не горячо, а ласково по-доброму. (во-первых, во-вторых, в-третьих - вводные слова, пишем через дефис; чуть-чуть - повторение, пишем через дефис; настежь - словарное слово; по-царски, по-доброму - наречия, образованные от прилагательных с помощью приставки по- и суффиксов -и, -ему, -ому, пишем через дефис; горячо - горя́чий).
5) На дорожках, видимо, было невидимо воробьев, и они по-прежнему сновали вверх и вниз. (дорожках - доро́женька; видимо - вводное слово; невидимо - ви́деть; по-прежнему - наречие, пишем через дефис).
6) Но неожиданно небо потемнело... (неожиданно - ждать).
7) Небрежно, неряшливо поползли растрепанные тучи. (небрежно, неряшливо - можно подобрать синоним без НЕ; растрепанные - причастие, есть зависимое слово).
8) Сначала мелькнула неяркая молния и разрезала надвое темно-серое небо. (сначала - словарное слово; неяркая - можно подобрать синоним без НЕ; надвое - наречие, пишем слитно).
9) Потом вспугнул птиц сильный раскат грома, как будто где-то кто-то вдребезги расколол стеклянную посуду. (раскат - катать; где-то, кто-то - местоимения с суффиксами -то, -либо, -нибудь, кое-, пишем через дефис; вдребезги - словарное слово; стеклянную - исключение).
10) И хлынул ливень, точь-в-точь занавес опустился на землю и закрыл все вокруг. (точь-в-точь - повторение, пишем через дефис).
11) Пропал куда-то город, а по улицам торопливо побежали мутные потоки воды. (куда-то - местоимения с суффиксами -то, -либо, -нибудь, кое-, пишем через дефис; торопливо - торо́пит).
12) Дождь шел долго, а утром вымытый город выглядел по-праздничному весело. (выглядел - гля́дя; по-праздничному - наречие, образованное от прилагательного с помощью приставки по- и суффиксов -и, -ему, -ому, пишем через дефис).
Проверяй безударные гласные, сомнительные согласные и не забывай про словарные слова!