ЗАДАНИЕ №7 Сравните числа: √12+√3? √20+ √2

Шаг 1: Возведем в квадрат первое число: \[(\sqrt{12} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{12})^2 + 2 \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 12 + 2\sqrt{36} + 3 = 15 + 2 \cdot 6 = 15 + 12 = 27\]

Шаг 2: Возведем в квадрат второе число: \[(\sqrt{20} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{20})^2 + 2 \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 20 + 2\sqrt{40} + 2 = 22 + 2\sqrt{40}\]

Шаг 3: Сравним полученные значения. Для этого сравним 27 и 22 + 2\sqrt{40}. Представим 27 как 22 + 5, тогда нужно сравнить 5 и 2\sqrt{40}.

Шаг 4: Возведем обе части в квадрат: \[5^2 = 25\] и \[(2\sqrt{40})^2 = 4 \cdot 40 = 160\]

Шаг 5: Сравним 25 и 160. Очевидно, что 25 < 160, следовательно, 5 < 2\sqrt{40}.

Шаг 6: Из этого следует, что 27 < 22 + 2\sqrt{40}, а значит, \[\sqrt{12} + \sqrt{3} < \sqrt{20} + \sqrt{2}\]