Задание 8 Точка Н является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите АВ, если АН = 4, АС = 16.

Составим чертёж:

      B
     / \
    /   \
   /     \
  /       \
 A---------C
 |    H    |
 4         16

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Высота BH делит гипотенузу AC на отрезки AH и HC. Длина отрезка AH = 4, длина гипотенузы AC = 16. Найдём длину отрезка HC:

$$HC = AC - AH = 16 - 4 = 12$$

2) Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу. Катет АВ является проекцией катета АВ на гипотенузу АС, тогда:

$$AB^2 = AH \cdot AC = 4 \cdot 16 = 64$$ $$AB = \sqrt{64} = 8$$

Ответ: 8