Задание 5 Треугольник АВС, изображенный на рисунке, является равнобедренным с основанием АС. Известно, что ED=AE, ∠C=80°, ZDAC = 40° Докажите, что прямые ED и АС параллельны. Найдите угол BED.

Дано: $$\triangle ABC$$ - равнобедренный, $$ED = AE$$, $$\angle C = 80^\circ$$, $$\angle DAC = 40^\circ$$.

Доказать: $$ED \parallel AC$$.

Найти: $$\angle BED$$.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то $$\angle A = \angle C = 80^\circ$$.

Найдем угол BAC: $$\angle BAC = \angle A = 80^\circ$$.

Тогда $$\angle BAE = \angle BAC - \angle DAC = 80^\circ - 40^\circ = 40^\circ$$.

Так как ED = AE, то треугольник ADE - равнобедренный, и углы при основании DE равны. $$\angle ADE = \angle DAE = \angle BAE = 40^\circ$$.

Углы DAC и ADE являются накрест лежащими углами при прямых ED и AC и секущей AD. Так как $$\angle DAC = \angle ADE = 40^\circ$$, то прямые ED и AC параллельны (по признаку параллельности прямых).

Найдем угол BED.

Сумма углов треугольника ADE равна 180°.$$\angle AED = 180^\circ - (\angle ADE + \angle DAE) = 180^\circ - (40^\circ + 40^\circ) = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$$.

Угол BED и угол AED - смежные углы, поэтому их сумма равна 180°. $$\angle BED = 180^\circ - \angle AED = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$$.

Ответ: $$\angle BED = 80^\circ$$.