Задание 3. У правильного многоугольника четыре стороны, а радиус описанной около него окружности равен 6\sqrt{2} см. Найдите: б) периметр многоугольника (14 баллов); в) площадь многоугольника (14 баллов); а) радиус вписанной окружности (14 баллов).

Рассмотрим правильный многоугольник, у которого четыре стороны. Это квадрат.

Обозначим радиус описанной окружности как $$R$$, сторону квадрата как $$a$$, радиус вписанной окружности как $$r$$.

Дано: $$R = 6\sqrt{2}$$ см.

Найти:

1. периметр многоугольника (квадрата);
2. площадь многоугольника (квадрата);
3. радиус вписанной окружности.

Решение:

а) Рассмотрим радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной в квадрат окружности равен половине его стороны:

$$r=\frac{a}{2}$$.

Радиус описанной около квадрата окружности можно найти по формуле:

$$R = \frac{a}{\sqrt{2}}$$.

Выразим сторону квадрата $$a$$ через радиус описанной окружности $$R$$:

$$a = R \sqrt{2}$$.

Тогда сторона квадрата равна: $$a = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 \cdot 2 = 12$$ см.

Радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{12}{2} = 6$$ см.

б) Периметр квадрата равен:

$$P = 4a = 4 \cdot 12 = 48$$ см.

в) Площадь квадрата равна:

$$S = a^2 = 12^2 = 144$$ см².

Ответ: а) радиус вписанной окружности равен 6 см; б) периметр многоугольника равен 48 см; в) площадь многоугольника равна 144 см².