Задание 2. Укажите наименьшее натуральное решение неравенства 1 1 (x-3)(x-1) < 5(x-1).

Ответ: 4

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Преобразуем неравенство

\[\frac{1}{(x-3)(x-1)} \le \frac{1}{5(x-1)}\]

• Шаг 2: Перенесем все в одну сторону

\[\frac{1}{(x-3)(x-1)} - \frac{1}{5(x-1)} \le 0\]

• Шаг 3: Приведем к общему знаменателю

\[\frac{5 - (x-3)}{5(x-3)(x-1)} \le 0\] \[\frac{5 - x + 3}{5(x-3)(x-1)} \le 0\] \[\frac{8 - x}{5(x-3)(x-1)} \le 0\]

• Шаг 4: Умножим на -1 и изменим знак неравенства

\[\frac{x - 8}{5(x-3)(x-1)} \ge 0\]

• Шаг 5: Найдем нули числителя и знаменателя

Нули числителя: x = 8 Нули знаменателя: x = 3, x = 1

• Шаг 6: Определим интервалы и знаки

----------------------------------------------------------------------
                                  +                                  
--------------------(8)----------------------------------------------
                      -                                              
------------(3)---------------------(8)------------------------------
             +                                                      
-----(1)-----------(3)---------------------(8)----------------------
----------------------------------------------------------------------
x < 1         (1; 3)        (3; 8)         x > 8

• Шаг 7: Выберем интервалы, где выражение больше или равно нулю

x ∈ (–∞; 1) ∪ (3; 8]

• Шаг 8: Учтем, что x ≠ 1 и x ≠ 3

• Шаг 9: Найдем наименьшее натуральное решение неравенства

Наименьшее натуральное решение: x = 4.

Ответ: 4