ЗАДАНИЕ №3 Упростите рациональное алгебраическое выражение: \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = -x-y

Для упрощения рационального алгебраического выражения $$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}}$$ выполним следующие действия:

1. Преобразуем числитель дроби, приведя к общему знаменателю: $$\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^2 - y^2}{xy}$$
2. Преобразуем знаменатель дроби, также приведя к общему знаменателю: $$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1 \cdot y}{x \cdot y} - \frac{1 \cdot x}{y \cdot x} = \frac{y - x}{xy}$$
3. Теперь разделим числитель на знаменатель: $$\frac{\frac{x^2 - y^2}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \div \frac{y - x}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \cdot \frac{xy}{y - x}$$
4. Сократим $$xy$$ в числителе и знаменателе: $$\frac{x^2 - y^2}{y - x}$$
5. Разложим числитель как разность квадратов: $$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$$
6. Подставим разложение в дробь: $$\frac{(x - y)(x + y)}{y - x}$$
7. Заметим, что $$x - y = -(y - x)$$, поэтому можно переписать числитель: $$\frac{-(y - x)(x + y)}{y - x}$$
8. Сократим $$y - x$$ в числителе и знаменателе: $$-(x + y) = -x - y$$

Таким образом, упрощенное выражение равно $$-x - y$$.

Ответ: $$-x - y$$