Задание 5 Упростите выражение \frac{5x^3-22x^2+11x - 12}{x-4} - \frac{15x^2+x-2}{3x-1}.

Выполним упрощение выражения:

1. Разделим многочлен $$5x^3 - 22x^2 + 11x - 12$$ на $$x-4$$ столбиком:

           5x² - 2x + 3
       x - 4 | 5x³ - 22x² + 11x - 12
             5x³ - 20x²
             --------------
                  -2x² + 11x
                  -2x² + 8x
                  ------------
                         3x - 12
                         3x - 12
                         --------
                             0
    

   Получаем $$5x^3 - 22x^2 + 11x - 12 = (x-4)(5x^2-2x+3)$$. Тогда первая дробь равна $$\frac{5x^3-22x^2+11x - 12}{x-4} = \frac{(x-4)(5x^2-2x+3)}{x-4} = 5x^2-2x+3$$.
2. Разложим числитель второй дроби на множители. Для этого решим уравнение $$15x^2 + x - 2 = 0$$: $$D = 1^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 1 + 120 = 121$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 15} = \frac{-1 + 11}{30} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 15} = \frac{-1 - 11}{30} = \frac{-12}{30} = -\frac{2}{5}$$ Тогда, $$15x^2 + x - 2 = 15(x - \frac{1}{3})(x + \frac{2}{5}) = 15(x - \frac{1}{3})(x + \frac{2}{5}) = 3(x - \frac{1}{3}) \cdot 5(x + \frac{2}{5}) = (3x - 1)(5x + 2)$$ Тогда, вторая дробь равна $$\frac{15x^2+x-2}{3x-1} = \frac{(3x - 1)(5x + 2)}{3x - 1} = 5x + 2$$.
3. Имеем: $$5x^2-2x+3 - (5x+2) = 5x^2 - 2x + 3 - 5x - 2 = 5x^2 - 7x + 1$$

Ответ: $$5x^2 - 7x + 1$$