ЗАДАНИЕ 2 В классе у всех учеников числа дат рождений различны. Если в класс придёт новый ученик, то это условие обязательно нарушится. Докажите, что минимум у 3 учеников класса месяцы рождения совпадут.

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Пошаговое решение:

1. Предположим, что нет трех учеников, родившихся в один и тот же месяц. Это означает, что в каждом месяце родились максимум 2 ученика.

2. Всего месяцев в году 12. Если в каждом месяце родились максимум 2 ученика, то в классе не может быть больше чем 2 ⋅ 12 = 24 ученика.

3. Если приходит новый ученик (25-й), то он обязательно родится в тот же месяц, что и кто-то из уже имеющихся учеников, так как все даты рождений различны, но месяцев всего 12.

4. Но по условию, с приходом нового ученика условие, что все даты рождений различны, нарушается. Это значит, что изначально в классе должно быть минимум 24 ученика + 1 новый ученик = 25 учеников.

5. Чтобы условие нарушилось, необходимо, чтобы как минимум в одном месяце родились три ученика. Если бы в каждом месяце было не более двух учеников, то приход нового ученика не нарушил бы условие.

Ответ: Доказательство приведено выше.