Задание 4 В подъезде горят 5 лампочек. Вероятность, что любая лампочка не перегорит в течение ближайшего месяца, равна 0,2. Какова вероятность того, что в течение месяца: а) сгорят все лампочки; б) сгорит ровно одна лампочка; в) останутся гореть по крайней мере 3 лампочки?

Решение:

а) Вероятность, что все 5 лампочек перегорят:

Вероятность перегорания одной лампочки: 1 - 0.2 = 0.8.

Вероятность, что все 5 перегорят: \[P = 0.8^5 = 0.32768\]

б) Вероятность, что ровно одна лампочка перегорит:

Используем формулу Бернулли: \[P(k=1) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

где n = 5 (количество лампочек), k = 1 (количество перегоревших), p = 0.8 (вероятность перегорания одной лампочки).

Тогда:\[P(k=1) = C_5^1 \cdot 0.8^1 \cdot 0.2^4 = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 = 0.0064\]

в) Вероятность, что останутся гореть по крайней мере 3 лампочки:

Это означает, что могут гореть 3, 4 или 5 лампочек.

Вероятность, что перегорят 0, 1 или 2 лампочки: \[P(k \leq 2) = P(k=0) + P(k=1) + P(k=2)\]

Вероятность, что останутся гореть по крайней мере 3 лампочки: \[P(k \geq 3) = 1 - P(k \leq 2) = 1 - (P(k=0) + P(k=1) + P(k=2))\]

Рассчитаем эти вероятности:

• \[P(k=0) = C_5^0 \cdot 0.8^0 \cdot 0.2^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00032 = 0.00032\]
• \[P(k=1) = C_5^1 \cdot 0.8^1 \cdot 0.2^4 = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 = 0.0064\]
• \[P(k=2) = C_5^2 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2^3 = 10 \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 0.0512\]

Тогда: \[P(k \geq 3) = 1 - (0.00032 + 0.0064 + 0.0512) = 1 - 0.05792 = 0.94208\]

Вероятность, что останутся гореть по крайней мере 3 лампочки, равна сумме вероятностей, что перегорят 0, 1 или 2 лампочки:

\(P(\text{останутся гореть } \geq 3) = P(\text{перегорят } 0) + P(\text{перегорят } 1) + P(\text{перегорят } 2)\)

• \(P(\text{перегорят } 0) = C_5^0 \cdot (0.8)^0 \cdot (0.2)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00032 = 0.00032\)
• \(P(\text{перегорят } 1) = C_5^1 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^4 = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 = 0.0064\)
• \(P(\text{перегорят } 2) = C_5^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^3 = 10 \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 0.0512\)

Сумма: \(0.00032 + 0.0064 + 0.0512 = 0.05792\)

Вероятность, что останутся гореть по крайней мере 3 лампочки: \(1 - 0.05792 = 0.94208\)

Поэтому, вероятность, что останутся гореть по крайней мере 3 лампочки: \[1 - 0.00032 - 0.0064 - 0.0512 = 0.94208\]

Тогда:\[P(\text{не менее 3}) = 1 - (0.00032 + 0.0064 + 0.0512) = 1 - 0.05792 = 0.94208\]