Задание 4. В треугольнике TPR проведена биссектриса ТК. ∠TRP = 60°, ∠RPT = 40°, РК = 8 см. Выполните рисунок и найдите: а) длину биссектрисы ТК (15 баллов); 6) длину стороны TR (15 баллов).

Задание 4.

В треугольнике TPR проведена биссектриса TK, ∠TRP = 60°, ∠RPT = 40°, PK = 8 см.

а) Длина биссектрисы TK.

Сумма углов треугольника TPR равна 180°. ∠PTR = 180° - ∠TRP - ∠RPT = 180° - 60° - 40° = 80°.

TK - биссектриса, значит ∠RTK = ∠KTР = 80° : 2 = 40°

Рассмотрим треугольник PTK. В нем ∠PTK = ∠RPT = 40°, значит треугольник PTK - равнобедренный, PT = PK = 8 см.

По теореме синусов в треугольнике TRP: $$\frac{TR}{sin∠TPR} = \frac{PR}{sin∠TRP}$$ $$\frac{TR}{sin40°} = \frac{PT+KR}{sin60°}$$ $$\frac{TR}{sin40°} = \frac{8+KR}{sin60°}$$ $$TR = \frac{(8+KR)sin40°}{sin60°}$$ По теореме синусов в треугольнике TRK: $$\frac{TR}{sin∠TKR} = \frac{KR}{sin∠RTK}$$ $$\frac{TR}{sin(180-40-60)} = \frac{KR}{sin40°}$$ $$\frac{TR}{sin80} = \frac{KR}{sin40°}$$ $$TR = \frac{KRsin80°}{sin40°}$$ $$\frac{(8+KR)sin40°}{sin60°} = \frac{KRsin80°}{sin40°}$$ $$(8+KR)sin^2(40) = KR sin80sin60$$ $$8sin^2(40) = KR(sin80sin60 - sin^2(40))$$ $$KR = \frac{8sin^2(40)}{sin80sin60 - sin^2(40)} \approx \frac{8 \cdot 0.413}{0.985 \cdot 0.866 - 0.413} \approx \frac{3.304}{0.853-0.413} \approx \frac{3.304}{0.44} \approx 7.509$$

$$TR = \frac{KRsin80°}{sin40°} \approx \frac{7.509 \cdot 0.985}{0.643} \approx \frac{7.396}{0.643} \approx 11.50$$

По теореме косинусов в треугольнике PTK:

$$TK^2 = PT^2 + PK^2 - 2 \cdot PT \cdot PK \cdot cos∠TPK$$ $$TK^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot cos40$$ $$TK^2 = 64 + 64 - 128 \cdot 0.766$$ $$TK^2 = 128 - 98.048 = 29.952$$ $$TK = \sqrt{29.952} \approx 5.47$$

б) Длина стороны TR.

TR ≈ 11.50

Ответ: TK ≈ 5.47 см, TR ≈ 11.50 см