ЗАДАНИЕ №5 Вероятность того, что на аппарате загорится зелёный свет, равна 0,4. Найдите вероятность того, что в семи запусках аппарата ровно три раза загорится зелёный свет.

Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:

$$P_n(k) = C_n^k cdot p^k cdot q^{n-k}$$, где

• $$P_n(k)$$ – вероятность того, что событие наступит ровно k раз в n испытаниях;
• $$C_n^k$$ – количество сочетаний из n по k;
• $$p$$ – вероятность наступления события в одном испытании;
• $$q$$ – вероятность не наступления события в одном испытании ($$q = 1 - p$$);
• $$n$$ - количество испытаний;
• $$k$$ - количество наступлений события.

В нашем случае:

• $$n = 7$$ (количество запусков аппарата);
• $$k = 3$$ (количество раз, когда загорится зелёный свет);
• $$p = 0,4$$ (вероятность, что загорится зелёный свет);
• $$q = 1 - 0,4 = 0,6$$ (вероятность, что не загорится зелёный свет).

Найдем количество сочетаний из 7 по 3:

$$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$$

Подставим значения в формулу Бернулли:

$$P_7(3) = 35 \cdot (0,4)^3 \cdot (0,6)^4 = 35 \cdot 0,064 \cdot 0,1296$$

$$P_7(3) = 35 \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^4$$

Ответ: $$35 \cdot 0.4^3 \cdot 0.6^4$$