Задание 8 Вопрос: Под действием груза массой 0,3 кг, подвешенного на пружине у поверхности Земли, пружина растянулась на 12 см. Насколько растянется эта пружина под действием груза массой 3 кг, подвешенного к ней на высоте, равной двум земным радиусам от поверхности Земли. (Ответ дайте с точностью до одного знака после запятой). Запишите число: х, см

Определим, как изменится вес груза на высоте, равной двум земным радиусам. Ускорение свободного падения уменьшается обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. На поверхности Земли расстояние до центра равно одному земному радиусу (R), а на высоте двух земных радиусов расстояние до центра будет 3R.

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $$g_1 = G \frac{M}{R^2}$$, где G - гравитационная постоянная, M - масса Земли, R - радиус Земли.

Ускорение свободного падения на высоте 2R от поверхности Земли: $$g_2 = G \frac{M}{(3R)^2} = G \frac{M}{9R^2} = \frac{1}{9} g_1$$

Вес тела на поверхности Земли: $$P_1 = m_1 g_1$$

Вес тела на высоте 2R: $$P_2 = m_2 g_2$$

Растяжение пружины пропорционально весу груза. Обозначим растяжение пружины как Δx.

На поверхности Земли при массе 0.3 кг растяжение составляет 12 см, т.е. $$Δx_1 = 12 \text{ см}$$.

На высоте 2R при массе 3 кг растяжение будет:

$$ \frac{Δx_2}{Δx_1} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2 g_2}{m_1 g_1} = \frac{m_2 \frac{1}{9} g_1}{m_1 g_1} = \frac{m_2}{9m_1} $$

$$Δx_2 = Δx_1 \frac{m_2}{9m_1} = 12 \text{ см} \cdot \frac{3 \text{ кг}}{9 \cdot 0.3 \text{ кг}} = 12 \text{ см} \cdot \frac{3}{2.7} = 12 \text{ см} \cdot \frac{10}{9} = \frac{120}{9} \text{ см} ≈ 13.3 \text{ см}$$

Ответ: 13.3