ЗАДАНИЕ 9 Выберите несколько вариантов ответов Найдите промежутки возрастания и убывания функции у = - \frac{2}{3}√x³+3x+1. Выберите верные утверждения.

Ответ: Функция возрастает на промежутке [0; 9]. Функция убывает на промежутке [9; +∞).

Пошаговое решение:

Шаг 1: Находим производную заданной функции.

Запишем функцию в виде:

\[y = -\frac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1\]

Производная функции:

\[y' = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} + 3 = -\sqrt{x} + 3\]

Шаг 2: Определяем, когда производная равна нулю.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

\[-\sqrt{x} + 3 = 0\] \[\sqrt{x} = 3\] \[x = 9\]

Шаг 3: Определяем знаки производной на промежутках.

Рассмотрим промежутки:

• \([0; 9)\): Возьмем \(x = 4\), тогда \(y' = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1 > 0\). Функция возрастает.
• \((9; +\infty)\): Возьмем \(x = 16\), тогда \(y' = -\sqrt{16} + 3 = -4 + 3 = -1 < 0\). Функция убывает.

Шаг 4: Формулируем выводы.

• Функция возрастает на промежутке \([0; 9]\).
• Функция убывает на промежутке \([9; +\infty)\).

Ответ: Функция возрастает на промежутке [0; 9]. Функция убывает на промежутке [9; +∞).