ЗАДАНИЕ 12 Выберите один из нескольких вариантов Даны точки A(2; 5), B(6; 9), C(10; 9), D(14; 5). Определите вид четырехугольника.

Для определения вида четырехугольника ABCD, необходимо рассмотреть длины его сторон и углы.

1. Найдем длины сторон AB, BC, CD и DA:

• $$AB = \sqrt{(6-2)^2 + (9-5)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
• $$BC = \sqrt{(10-6)^2 + (9-9)^2} = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4$$
• $$CD = \sqrt{(14-10)^2 + (5-9)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$
• $$DA = \sqrt{(2-14)^2 + (5-5)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12$$

2. Анализ длин сторон:

• AB = CD $$= 4\sqrt{2}$$
• BC = 4
• DA = 12

Так как противоположные стороны AB и CD равны, можно предположить, что это параллелограмм или трапеция. Однако, стороны BC и DA не равны, следовательно, это не параллелограмм. Также, только одна пара сторон параллельна (BC и DA лежат на горизонтальных прямых), следовательно, это трапеция.

Проверим углы. Найдем координаты векторов:

• $$ \overrightarrow{AB} = (6-2, 9-5) = (4, 4) $$
• $$ \overrightarrow{BC} = (10-6, 9-9) = (4, 0) $$
• $$ \overrightarrow{CD} = (14-10, 5-9) = (4, -4) $$
• $$ \overrightarrow{DA} = (2-14, 5-5) = (-12, 0) $$

Угол между векторами $$ \overrightarrow{BC} $$ и $$ \overrightarrow{DA} $$ равен 0, так как они оба лежат на горизонтальной прямой.

Теперь проверим, является ли трапеция равнобедренной. Для этого необходимо проверить, равны ли углы при основании.

Выше было определено, что угол между $$ \overrightarrow{AB} $$ и $$ \overrightarrow{AD} $$ равен 45 градусам.

Найдем угол между $$ \overrightarrow{CD} $$ и $$ \overrightarrow{DA} $$:

$$ \cos(\angle CDA) = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA}}{|\overrightarrow{CD}| \cdot |\overrightarrow{DA}|} = \frac{(4 \cdot -12) + (-4 \cdot 0)}{4\sqrt{2} \cdot 12} = \frac{-48}{48\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

$$ \angle CDA = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 135^{\circ} $$

Так как углы не равны, трапеция не является равнобедренной. Следовательно, ABCD - это обычная трапеция.

Ответ: Трапеция.