ЗАДАНИЕ 10 Выберите один из нескольких вариантов В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми АА1 и BD1.

Решение

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти расстояние между прямыми AA₁ и BD₁ в единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁.

Представим себе куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Прямая AA₁ — это боковое ребро куба, а BD₁ — диагональ грани BD₁ параллелепипеда BB₁DD₁.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина общего перпендикуляра к этим прямым. Чтобы найти этот перпендикуляр, рассмотрим плоскость, содержащую одну из прямых и параллельную другой прямой. В нашем случае это плоскость, проходящая через BD₁ и параллельная AA₁.

Плоскость BB₁DD₁ как раз и содержит BD₁ и параллельна AA₁.

Теперь нужно найти расстояние от точки A до плоскости BB₁DD₁.

Заметим, что AC перпендикулярна BD, а поскольку AA₁ перпендикулярна плоскости ABCD, то AC перпендикулярна и AA₁.

Таким образом, AC перпендикулярна плоскости BB₁DD₁.

Поэтому расстояние от точки A до плоскости BB₁DD₁ равно длине отрезка AO, где O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.

Диагональ квадрата ABCD равна \(\sqrt{2}\), так как сторона квадрата равна 1.

Тогда AO = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Молодец! У тебя всё получится!