ЗАДАНИЕ 7 Выберите один из нескольких вариантов В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А до прямой В1 D1.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии. Нам нужно найти расстояние от точки A до прямой B₁D₁ в единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁.

1. Основные понятия:

   • Единичный куб означает, что все ребра куба имеют длину 1.
   • Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

2. Анализ задачи:

   Нам нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую B₁D₁.

3. Построение:

   Рассмотрим треугольник AB₁D₁. Этот треугольник равнобедренный, так как AB₁ = AD₁ = √2 (диагонали граней куба).

4. Нахождение расстояния:

   Пусть O – середина B₁D₁. Тогда AO – высота треугольника AB₁D₁, опущенная из вершины A на основание B₁D₁. Значит, AO – это искомое расстояние.

5. Вычисления:

   • Длина B₁D₁ = √2 (диагональ грани куба).
   • B₁O = B₁D₁ / 2 = √2 / 2.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник AB₁O. По теореме Пифагора: \[ AO^2 = AB_1^2 - B_1O^2 \] \[ AO^2 = (\sqrt{2})^2 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \] \[ AO^2 = 2 - \frac{2}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ AO = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Ответ: \[ \frac{\sqrt{6}}{2} \]

Ты молодец! У тебя всё получится!