Задание 1 y = 3x²+x⁴ 2 y = x³(2x-x²) 3 y = (x²+1)/2x³, 4) f(z) = z/(5-x²) 5 y = x²+4x-3

Задание

Разбираемся с функциями и их производными!

1. \( y = 3x^2 + x^4 \)

   Логика такая: производная суммы равна сумме производных. Не забываем про правило степени: \( (x^n)' = nx^{n-1} \)

   \( y' = (3x^2)' + (x^4)' = 3 \cdot 2x + 4x^3 = 6x + 4x^3 \)

2. \( y = x^3(2x - x^2) \)

   Смотри, тут всё просто: сначала раскроем скобки, а потом возьмем производную как в первом примере.

   \( y = 2x^4 - x^5 \)

   \( y' = (2x^4)' - (x^5)' = 2 \cdot 4x^3 - 5x^4 = 8x^3 - 5x^4 \)

3. \( y = \frac{x^2 + 1}{2x^3} \)

   Разбираемся: здесь у нас деление функций, так что используем правило производной частного: \( (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)

   \( u = x^2 + 1, u' = 2x \)

   \( v = 2x^3, v' = 6x^2 \)

   \( y' = \frac{2x \cdot 2x^3 - (x^2 + 1) \cdot 6x^2}{(2x^3)^2} = \frac{4x^4 - 6x^4 - 6x^2}{4x^6} = \frac{-2x^4 - 6x^2}{4x^6} = \frac{-2x^2(x^2 + 3)}{4x^6} = \frac{-(x^2 + 3)}{2x^4} \)

4. \( f(z) = \frac{z}{5 - x^2} \)

   Тут переменная z, а x — константа. Снова производная частного.

   \( u = z, u' = 1 \)

   \( v = 5 - x^2, v' = 0 \) (так как x — константа)

   \( f'(z) = \frac{1 \cdot (5 - x^2) - z \cdot 0}{(5 - x^2)^2} = \frac{5 - x^2}{(5 - x^2)^2} = \frac{1}{5 - x^2} \)

5. \( y = x^2 + 4x - 3 \)

   Тут всё просто: производная суммы/разности и правило степени.

   \( y' = (x^2)' + (4x)' - (3)' = 2x + 4 - 0 = 2x + 4 \)