Задание: (Задание выполнять в тетрадях, если тетради нет, то на двойных листочках. Графики строим АККУРАТНО. За данное задание вы получите 2 оценки, первая оценка за решения, вторая за построение графиков!) 1. Определить направление ветвей параболы 2. Найти вершину параболы 3. Найти нули функции 4. Построить график Пример №1. f(x) = x² + 2x - 8 Пример №2. f(x) = -2x² - 3x + 5 Пример №3. f(x) = 2(x - 3)²-7 Пример №4. f(x) = x² + 6x - 9

Разберем каждый пример по пунктам.

Пример №1. f(x) = x² + 2x - 8

1. Определить направление ветвей параболы

   Коэффициент при x² равен 1, а > 0, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Найти вершину параболы

   Координаты вершины параболы (x₀; y₀) находятся по формулам: $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$, $$y_0 = f(x_0)$$ В данном случае a = 1, b = 2, c = -8. Тогда $$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$$. $$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9$$. Вершина параболы (-1; -9).

3. Найти нули функции

   Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0. Решим уравнение x² + 2x - 8 = 0. Используем теорему Виета: сумма корней равна -2, произведение корней равно -8. Корни: x₁ = -4, x₂ = 2.

4. Построить график

   График - парабола, ветви направлены вверх, вершина в точке (-1; -9), нули функции x₁ = -4 и x₂ = 2.

Пример №2. f(x) = -½x² - 3x + 5

1. Определить направление ветвей параболы

   Коэффициент при x² равен -½, а < 0, значит, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти вершину параболы

   Координаты вершины параболы (x₀; y₀) находятся по формулам: $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$, $$y_0 = f(x_0)$$ В данном случае a = -½, b = -3, c = 5. Тогда $$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot (-0.5)} = -3$$. $$y_0 = f(-3) = -\frac{1}{2} \cdot (-3)^2 - 3 \cdot (-3) + 5 = -\frac{9}{2} + 9 + 5 = -4.5 + 14 = 9.5$$. Вершина параболы (-3; 9.5).

3. Найти нули функции

   Нули функции - это значения x, при которых f(x) = 0. Решим уравнение -½x² - 3x + 5 = 0. Умножим на -2: x² + 6x - 10 = 0. Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 6² - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 36 + 40 = 76. x₁ = (-6 + √76)/2, x₂ = (-6 - √76)/2. x₁ ≈ 1.36, x₂ ≈ -7.36.

4. Построить график

   График - парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (-3; 9.5), нули функции x₁ ≈ 1.36 и x₂ ≈ -7.36.

Пример №3. f(x) = 2(x - 3)² - 7

1. Определить направление ветвей параболы

   Коэффициент при (x - 3)² равен 2, а > 0, значит, ветви параболы направлены вверх.

2. Найти вершину параболы

   Функция представлена в виде f(x) = a(x - x₀)² + y₀, где (x₀; y₀) - вершина параболы. В данном случае вершина параболы (3; -7).

3. Найти нули функции

   Решим уравнение 2(x - 3)² - 7 = 0. 2(x - 3)² = 7; (x - 3)² = 3.5; x - 3 = ±√3.5; x = 3 ± √3.5. x₁ ≈ 4.87, x₂ ≈ 1.13.

4. Построить график

   График - парабола, ветви направлены вверх, вершина в точке (3; -7), нули функции x₁ ≈ 4.87 и x₂ ≈ 1.13.

Пример №4. f(x) = -x² + 6x - 9

1. Определить направление ветвей параболы

   Коэффициент при x² равен -1, а < 0, значит, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти вершину параболы

   Координаты вершины параболы (x₀; y₀) находятся по формулам: $$x_0 = -\frac{b}{2a}$$, $$y_0 = f(x_0)$$ В данном случае a = -1, b = 6, c = -9. Тогда $$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$$. $$y_0 = f(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0$$. Вершина параболы (3; 0).

3. Найти нули функции

   Решим уравнение -x² + 6x - 9 = 0. x² - 6x + 9 = 0; (x - 3)² = 0; x = 3.

4. Построить график

   График - парабола, ветви направлены вниз, вершина в точке (3; 0), нуль функции x = 3.

Ответ: Решения выше.