Задание: запишите в виде целого числа. 2sin^3(x) = \(\sqrt{2}\)cos^2(x) + 2sin(x), принадлежащих отрезку [-4\(\pi\); -5\(\pi\)/2].

Решение:

Данное уравнение: \( 2\sin^3(x) = \sqrt{2}\cos^2(x) + 2\sin(x) \).

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \):

\[ 2\sin^3(x) = \sqrt{2}(1 - \sin^2(x)) + 2\sin(x) \]\[ 2\sin^3(x) = \sqrt{2} - \sqrt{2}\sin^2(x) + 2\sin(x) \]\[ 2\sin^3(x) + \sqrt{2}\sin^2(x) - 2\sin(x) - \sqrt{2} = 0 \]

Пусть \( y = \sin(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^3 + \sqrt{2}y^2 - 2y - \sqrt{2} = 0 \]

Сгруппируем слагаемые:

\[ y^2(2y + \sqrt{2}) - (2y + \sqrt{2}) = 0 \]\[ (y^2 - 1)(2y + \sqrt{2}) = 0 \]

Это означает, что либо \( y^2 - 1 = 0 \), либо \( 2y + \sqrt{2} = 0 \).

Случай 1: \( y^2 - 1 = 0 \) => \( y^2 = 1 \) => \( y = \pm 1 \).

Значит, \( \sin(x) = 1 \) или \( \sin(x) = -1 \).

Случай 2: \( 2y + \sqrt{2} = 0 \) => \( 2y = -\sqrt{2} \) => \( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Значит, \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Теперь найдём значения \( x \) на отрезке \( [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \).

1. \( \sin(x) = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \).

На данном отрезке нет решений.

2. \( \sin(x) = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \).

Подставим \( k = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{5\pi}{2} \). Это решение входит в отрезок.

Подставим \( k = -2 \): \( x = -\frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{9\pi}{2} \). Это решение не входит в отрезок.

3. \( \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) или \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \).

Для \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \):

Подставим \( k = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4} \). Это решение не входит в отрезок.

Подставим \( k = -2 \): \( x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4} \). Это решение не входит в отрезок.

Для \( x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \):

Подставим \( k = -1 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{11\pi}{4} \). Это решение входит в отрезок.

Подставим \( k = -2 \): \( x = -\frac{3\pi}{4} - 4\pi = -\frac{19\pi}{4} \). Это решение не входит в отрезок.

Решения на отрезке \( [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \) — это \( x = -\frac{5\pi}{2} \) и \( x = -\frac{11\pi}{4} \).

Переведём эти значения в десятичную дробь для сравнения с границами отрезка:

\( -4\pi \approx -12.566 \)

\( -\frac{5\pi}{2} \approx -7.854 \)

\( -\frac{11\pi}{4} \approx -8.639 \)

Оба решения \( -7.854 \) и \( -8.639 \) находятся в интервале \( [-12.566; -7.854] \).

Найдем количество решений:

\( \sin(x) = -1 \) => \( x = -\frac{5\pi}{2} \) — 1 решение.

\( \sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) => \( x = -\frac{11\pi}{4} \) — 1 решение.

Всего 2 решения.

Ответ: 2