ЗАДАНИЕ Докажите, что «золотое правило» механики применимо к гидравлической машине. Трение между поршнями и стенками сосудов не учитывайте.

Доказательство:

«Золотое правило» механики гласит: во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии.

Рассмотрим гидравлическую машину, состоящую из двух сообщающихся сосудов разного диаметра, разделённых поршнями. Пусть площадь меньшего поршня \( S_1 \), а площадь большего поршня \( S_2 \).

По закону Паскаля, давление, оказываемое на жидкость, передаётся во все точки жидкости одинаково:

\( P = \frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2} \)

Отсюда выразим силу, действующую на больший поршень:

\( F_2 = F_1 \cdot \frac{S_2}{S_1} \)

Поскольку \( S_2 > S_1 \), то \( F_2 > F_1 \). Это означает, что мы выигрываем в силе.

Теперь рассмотрим перемещение поршней. Пусть меньший поршень опустился на высоту \( h_1 \). Объём вытесненной жидкости равен:

\( V = S_1 \cdot h_1 \)

Этот же объём жидкости поднимет больший поршень на высоту \( h_2 \). Объём жидкости под большим поршнем:

\( V = S_2 \cdot h_2 \)

Приравнивая объёмы, получаем:

\( S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2 \)

Отсюда выразим высоту подъёма большего поршня:

\( h_2 = h_1 \cdot \frac{S_1}{S_2} \)

Поскольку \( S_1 < S_2 \), то \( h_2 < h_1 \). Это означает, что мы проигрываем в расстоянии.

Сравним выигрыш в силе и проигрыш в расстоянии:

\( \frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1} \)

\( \frac{h_1}{h_2} = \frac{S_2}{S_1} \)

Таким образом, \( \frac{F_2}{F_1} = \frac{h_1}{h_2} \), что соответствует «золотому правилу» механики: во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии.

Вывод: «Золотое правило» механики применимо к гидравлической машине.