Задания для аудиторной работы. 1. Вычислить значение числового выражения: а) \(3^2\cdot3^{-1}-5^{-3}\cdot5^{-2}+(3\cdot7{,}5)^0\); б) \(\left(\frac{7^2\cdot7^{-1}}{343\cdot7^{-2}}\right)^{-2}\). 2. Решите уравнения: а) \(\frac{6x-18}{x-2}=0\); б) \(\frac{x+2}{3x-5}=\frac54\). 3. Решите неравенства: а) \(4(a+1)+3a>7a+2\); б) \(\frac{x+1}{2}-\frac{x+2}{3}<2+\frac{x}{6}\). 4. Решите системы: а) \(\begin{cases}40m+3n=-10,\\m-\frac7{20}n=-\frac14;\end{cases}\) б) \(\begin{cases}5x-7y>-14+3x,\\-4x+5>29+2x.\end{cases}\)

1а. Используем свойства степеней: \(3^2\cdot3^{-1}=3\), \(5^{-3}\cdot5^{-2}=5^{-5}=\frac1{3125}\), а \((3\cdot7{,}5)^0=1\).

Получаем: \(3-\frac1{3125}+1=4-\frac1{3125}=\frac{12499}{3125}=3{,}99968\).

1б. \(7^2\cdot7^{-1}=7\), \(343\cdot7^{-2}=7^3\cdot7^{-2}=7\). Поэтому внутренняя дробь равна 1, и \(1^{-2}=1\).

2а. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: \(6x-18=0\), откуда \(x=3\). Ограничение: \(x\ne2\). Значение подходит.

2б. Ограничение: \(3x-5\ne0\), то есть \(x\ne\frac53\). Умножаем на \(4(3x-5)\): \(4(x+2)=5(3x-5)\). Тогда \(4x+8=15x-25\), \(33=11x\), поэтому \(x=3\).

3а. \(4a+4+3a>7a+2\), следовательно, \(7a+4>7a+2\), то есть \(4>2\). Это верное утверждение при любом \(a\).

3б. Умножим неравенство на 6: \(3(x+1)-2(x+2)<12+x\). После упрощения: \(3x+3-2x-4<12+x\), \(x-1

4а. Из второго уравнения: \(m=\frac7{20}n-\frac14\). Подставим в первое: \(40\left(\frac7{20}n-\frac14\right)+3n=-10\). Получаем \(14n-10+3n=-10\), откуда \(17n=0\), \(n=0\). Тогда \(m=-\frac14\).

4б. Первое неравенство: \(5x-7y>-14+3x\), значит \(2x-7y>-14\), или \(y<\frac{2x+14}{7}\). Второе: \(-4x+5>29+2x\), значит \(-6x>24\), поэтому \(x<-4\).

Следовательно, решение системы: \(x<-4\) и \(y<\frac{2x+14}{7}\).

Ответ: 1а) \(\frac{12499}{3125}=3{,}99968\); 1б) \(1\). 2а) \(x=3\); 2б) \(x=3\). 3а) \(a\in\mathbb R\); 3б) \(x\in\mathbb R\). 4а) \(m=-\frac14,\ n=0\); 4б) \(x<-4,\ y<\frac{2x+14}{7}\).